Aleksej je počeo plivati [[19981990]] godine, kada mu je bilo 13samo 5 godina. Preseljenjem u Hrvatsku prijavio se u [[HAŠK Mladost Sveučilišta u Zagrebu|HAPK Mladost]] gdje su ga svi dočekali otvorenih ruku, te su bili iznenađeni njegovim rezultatima. Aleksej nije došao iz Rusije kao ekstratalent, iako je imao zapažene rezultate za svoj uzrast.<ref name="jl"/> Prvi trener u Mladosti mu je bio Tomica Roglić, te kasnije [[Aleksandar Seleznjev]].<ref name="sd"/> Alekseja su na koledžu trenirali Brett Hawke i Richard Quick. Višegodišnji je prvak Hrvatske u sprintu slobodno i leptir na 50 i 100 metara. Osvajač je zlatne medalje na Europskom juniorskom prvenstvu održanom u [[Austrija|austrijskom]] [[Linz]]u 2002 godine i Europskom prvenstvu u kratkim bazenima održanom u [[Finska|finskom]] [[Helsinki]]ju 2006 godine.<ref name="swm"/><ref> {{en}} {{Citiranje www|naslov=Alexei Puninski|url=http://www.sports-reference.com/olympics/athletes/pu/alexei-puninski-1.html|autor=|autorlink=|prezime=|ime=|koautori=|urednik=|izdavač=Sports Reference LLC|format=|rad=|stranice=|dan=|mjesec=|godina=|preuzeto=19. 11. 2015|arhivurl=|arhivdatum=|citat=}}</ref> [[2008]] godine kvalificirao se na [[Olimpijada 2008|XXIX. Olimpijske igre]] u [[Peking]]u na 100 metara leptir završivši natjecanje u četvrtfinalu tj. na 47 mjestu od 66 plivača.<ref> {{en}} {{Citiranje www|naslov=Alexei Puninski Earns Spot On Croatian Olympic Team|url=http://www.auburntigers.com/sports/c-swim/spec-rel/040408aab.html|autor=|autorlink=|prezime=|ime=|koautori=|urednik=|izdavač=Auburn Tigers|format=|rad=|stranice=|dan=|mjesec=|godina=4. 4. 2008|preuzeto=19. 11. 2015|arhivurl=|arhivdatum=|citat=}}</ref><ref> {{en}} {{Citiranje www|naslov=USA Swimming Grand Prix, Columbus: Katie Hoff Doubles Up|url=http://www.swimmingworldmagazine.com/news/usa-swimming-grand-prix-columbus-katie-hoff-doubles-up/|autor=|autorlink=|prezime=|ime=|koautori=|urednik=|izdavač=Swimming World Magazine|format=|rad=|stranice=|dan=|mjesec=|godina=4. 4. 2008|preuzeto=19. 11. 2015|arhivurl=|arhivdatum=|citat=}}</ref><ref name="hps">{{Citiranje www|naslov=Aleksej Puninski|url=http://www.hrvatski-plivacki-savez.hr/Sadrzaj/Plivac.php?id=PliSam&lang=Hrv&plivac=19101013000260&prvi=t|autor=|autorlink=|prezime=|ime=|koautori=|urednik=|izdavač=Hrvatski plivački savez|format=|rad=|stranice=|dan=|mjesec=|godina=|preuzeto=19. 11. 2015|arhivurl=|arhivdatum=|citat=}}</ref><ref>{{Citiranje www|naslov=Rezultati hrvatskih sportaša na OI Peking 2008.|url=http://www.hoo.hr/hr/natjecanja/olimpijske-igre/olimpijske-igre/oi-peking-2008/2492-rezultati-hrvatskih-sportasa-na-oi-peking-2008|autor=|autorlink=|prezime=|ime=|koautori=|urednik=|izdavač=Hrvatski olimpijski odbor|format=|rad=|stranice=|dan=|mjesec=|godina=24. 12. 2008|preuzeto=19. 11. 2015|arhivurl=|arhivdatum=|citat=}}</ref> Iste godine je na Europskom prvenstvu u kratkim bazenima održanom u [[Rijeka|Rijeci]] postavio hrvatski rekord u polufinalnoj utrci 50 metara leptir sa vremenom 22.63 sekunde. Na istom prvenstvu je osvojio brončanu medalju kao član hrvatske štafete u utrci 4×50 metara slobodno sa rezultatom 1:23.68.<ref name="hps"/>
