Razlike između izmjena na stranici "Sinusna teorema"

Obrisan 381 bajt ,  prije 5 godina
nema sažetka uređivanja
m/м (robot kozmetičke promjene)
 
; Sinusna teorema: <math>\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R,</math> gde su <math>\ a, b, c</math> stranice naspram uglova <math>\alpha,\;\beta,\;\gamma,</math> trougla <math>\ ABC,</math> a <math>\ R</math> poluprečnik opisanog [[krug]]a.
 
[[Datoteka:Sinusna-teorema.gif|thumb|Sl.1. Sinusna teorema]]
; Dokaz: Oko [[trougao|trougla]] ABC opisana je [[kružnica]] poluprečnika R, na slici desno. <math>CA' =2R</math> je prečnik. Znamo da su periferni uglovi nad istom tetivom <math>BC=a</math> jednaki, tj. <math>\alpha=\angle BAC=\angle BA' C,</math> te da je periferni ugao <math>\angle CBA'</math> nad prečnikom CA' prav. U [[Pravougli trougao|pravouglom trouglu]] A'BC imamo <math>\sin\alpha = \frac{a}{2R},</math> a otuda <math>\frac{a}{\sin\alpha}=2R.</math> Slično dobijamo za uglove <math>\beta,\;\gamma.</math> Kraj dokaza.
 
[[Datoteka:Simetrala-ugla.gif|left|Sl.2. Simetrala ugla]]
; Teorema 2: [[Simetrala]] unutrašnjeg ugla trougla deli suprotnu stanicu na delove proporcionalne naleglim stranama.
 
* dva ugla trougla i jednu stranicu (USU), ili
* dve strane trougla i suprotni ugao (SSU).
 
[[Datoteka:Trougao-41-62-7.gif|thumb|Sl.3. Primer 1, rešavanje trougla]]
; 1. Primer (USU): U <math>\Delta ABC,\; BC=7cm,\; \angle A=41^o,\; \angle B=62^o.</math> Naći dužinu stranice AC.
 
; Rešenje: Dve stranice su aktuelne ''b'' i ''c'', pa pre korištenja sinusne teoreme moramo pronaći ugao S. Iz <math>\angle A+\angle B+\angle C=180^o,</math> (v. [[zbir uglova u trouglu]]) sledi <math>\angle C =41^o.</math> Zatim, iz sinusne teoreme <math>\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C},</math> tj. <math>\frac{15}{\sin 32^o}=\frac{c}{\sin 41^o},</math> dobijamo <math>c=\frac{15\cdot\sin 41^o}{\sin 32^o}=18,5705... .</math>
: Prema tome, stranica AB = 18,57 je tačna na 3 [[značajne cifre]].
 
[[Datoteka:Tri-trougla.gif|right|Sl.5. Dvosmislen slučaj]]
 
Razmotrimo slučajeve trougla određenog sa dve stranice i jednim uglom.
; 3. Primer (SSU): U trouglu ABC naći ugao S kada je dato <math>AB=6cm,\; BC=4cm,\; \angle A=36^o.</math>
 
[[Datoteka:Primer-SSU.gif|left|Sl.6. Stranica, stranica, ugao]]
 
; Rešenje: Tražimo [[ugao]] iz <math>\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin C}{c}\; \Rightarrow \; \frac{\sin 36^o}{3}=\frac{\sin C}{6}.</math> Otuda je <math>\sin C=\frac{6\cdot\sin 36^o}{4}=0,86036... .</math> Ugao čiji [[sinus]] je 0,86... je približno 59° (do najbližeg [[stepen]]a), ali postoji još jedan, [[tupi ugao]], sa istim sinusom, tj. 121° (do najbližeg stepena). Takav tupi ugao C<sub>1</sub> i [[oštri ugao]] C<sub>2</sub>, na slici (6) levo, definišu dva različita [[Trougao|trougla]] AC<sub>1</sub>B i AC<sub>2</sub>B sa istim početnim podacima. U prvom od navedenih trouglova ugao B je 23°, a u drugom 85°, jer je <math>\angle A + \angle B + \angle C = 180^o</math> (v. [[zbir uglova u trouglu]]).
 
; 4. Primer (SSU): U trouglu <math>XYZ, \; \angle Y=42^o,\; XZ=10,\; YZ=7.</math> Naći ugao H.
 
[[Datoteka:Primer-SSU-1.gif|right|Sl.7. SSU sa jednim rešenjem]]
; Rešenje: Iz sinusne teoreme <math>\frac{\sin X}{x}=\frac{\sin Y}{y}\;\Rightarrow \; \frac{\sin X}{7}=\frac{\sin 42^o}{10}.</math>
: Otuda <math>\sin X=\frac{7\cdot\sin 42^o}{10}=0,46839... .</math>