Centar masa – razlika između verzija

Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
Nema sažetka izmjene
m razne ispravke; kozmetičke promjene
Red 14:
Daljnja razmatranja temelje se na predodžbi da se pojedina čestica podudara sa svojim centrom masa (tj. volumen čestice je tako mali da je praktično sadržan u njezinom centru masa).
 
== Definicija centra masa ==
[[Datoteka:Bird toy showing center of gravity.jpg|mini|desno|250px|<center>Ilustriranje centra mase održavajući ravnotežu dječje igračke prstom]]
'''Centar masa sistema od N čestica''' je točka C određena vektorom položaja <math>\scriptstyle \vec{r}_{C}</math> prema formuli
:::<math> \vec r_C = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^N m_i \vec r_i </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(gdje je&nbsp;&nbsp; <math> m = \sum_{i=1}^N m_i </math> &nbsp;&nbsp;ukupna masa sistema).
 
Pojedina čestica označena je simbolom "i" (i=1, 2, ... N), tj. njezina masa je <math>\scriptstyle m_i</math> a njezin vektor položaja je <math>\scriptstyle \vec{r}_{i}</math>.
Red 24:
 
'''Centar masa tijela''' može se opisati istom gornjom formulom ako se zamišlja da se tijelo sastoji od N čestica. U stvarnom izračunu, međutim, umjesto ogromnog broja diskretnih sastavnih čestica zamišlja se kontinuirana razdioba tijela na sve sitnije dijelove, koji se graničnim procesom prevode u diferencijalne elemente mase <math>\scriptstyle dm</math> odnosno volumena <math>\scriptstyle dV</math>. Tako se sume iz gornje formule prevode u integrale, što omogućuje korištenje poznatih metoda diferencijalnog računa:
:::<math> \vec r_C = \frac{1}{m}\int_{V} \vec r \,\mathrm{d}m </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(gdje je&nbsp;&nbsp; <math> m = \int_{V}\,\mathrm{d}m</math> &nbsp;&nbsp;ukupna masa tijela).
 
Integriranje je samo simbolički naznačeno donjim indeksom uz [[integral]]: podrazumijeva se da su to trostruki određeni integrali po cijelom volumenu ("V") tijela, kojima se konkretne granice definiraju po vanjskoj konturi tijela. Usto se u stvarnom računu diferencijalni element mase obično opisuje pomoću [[gustoća|gustoće]] ρ (koja je funkcija položaja), tj. <math>\scriptstyle dm=\rho \,dV</math>, pa formula poprima oblik
:::<math> \vec r_C = \frac{1}{m}\int_{V} \vec r \,\rho \,\mathrm{d}V </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(gdje je&nbsp;&nbsp; <math> m = \int_{V} \rho \,\mathrm{d}V</math> &nbsp;&nbsp;ukupna masa tijela).
 
'''Centar masa homogenog tijela''' računa se samo pomoću njegovog volumena V. Budući da [[homogenost|homogeno tijelo]] ima posvuda jednaku gustoću, ona se u gornjem izrazu za položaj centra masa vadi ispred integrala i pokrati s gustoćom u izrazu za masu <math>\scriptstyle m=\rho V</math> , pa se dobiva:
:::<math> \vec r_C = \frac{1}{V}\int_{V} \vec r \,\mathrm{d}V </math> .
 
== Obrazloženje definicije: dokaz uloge centra masa ==
Budući da se gibanje čestice opisuje samo jednim vektorom položaja, njezina brzina i akceleracija mogu se jednoznačno odrediti kao prva odnosno druga [[derivacija]] toga vektora položaja po vremenu. Zato je definiranje veličina i formuliranje zakona klasične mehanike najjednostavnije i najjasnije u slučaju čestice. Primjerice, poznati i praktični oblik [[Newtonovi zakoni gibanja|2. Newtonovog aksioma]] (u nerelativističkoj aproksimaciji) "suma sila jednaka je umnošku mase i akceleracije" predstavlja posve jasnu tvrdnju za pojedinu česticu: radi se o sumi svih sila koje djeluju na česticu, o masi čestice, te o akceleraciji čestice koja je jasno definirana preko njezinog vektora položaja.
 
Red 59:
Ako takvih sila nema (ili se zbrajanjem ponište), centar masa miruje ili se giba jednoliko pravocrtno (nema akceleracije), pa je ukupna količina gibanja konstantna. Pritom se pojedine čestice ili dijelovi sistema ili tijela mogu gibati na različite druge načine, odnosno mijenjati svoje količine gibanja i imati različite akceleracije.
 
== Primjer određivanja centra masa ==
[[Datoteka:Centar masa čekica.JPG|okvir|Centar masa čekića '''C''' određuje se pomoću centara masa njegovih dijelova]]
Umjesto gornjih formula za centra masa, u kojima se koristi vektor položaja <math>\scriptstyle \vec{r}_{C}</math> kao oznaka za sve tri koordinate centra masa, u praktičnim se primjenama najčešće pojedina kooordinata zasebno računa. Tako npr. u Kartezijevom sistemu za x-koordinatu centra masa sistema od N čestica imamo (a i preostale dvije koordinate, ako je potrebno, računaju se iz analognih izraza):
Red 69:
:<math> \scriptstyle x_c = \frac{1}{m_1 + m_2 } \,(m_1 x_1 + m_2 x_2) = \frac{1}{2,5} \,(2\times 2 \,+ \,0,5\times 6) = 2,8\,cm </math>.
 
== Odnos centra masa i težišta tijela ==
Iako među njima ima dosta sličnosti u praktičnim primjenama, u usporedbi s centrom masa pojam [[težište|težišta]] nije tako jednoznačno definiran niti ima takav fundamentalni značaj u fizici. Već i njihove opisne definicije, "točka u kojoj kao da je sadržana sva masa tijela" (centar masa) i "točka u kojoj kao da je sadržana sva težina tijela" (težište), razotkrivaju glavne razlike i sličnosti. Za razliku od centra masa, težište ne ovisi samo o građi tijela nego i o gravitacijskom polju u kojemu se tijelo nalazi. No, u homogenom gravitacijskom polju težište tijela je ista točka kao i njegov centar masa.
 
Red 87:
* {{Cite book |ref= harv|last = Marion | first = Jerry | coauthors = Stephen Thornton | year = 1995 | title = Classical Dynamics of Particles and Systems | edition = 4e | publisher = Harcourt | ISBN = 0-03-097302-3}}
* {{Cite book |ref= harv|last = Murray | first = Carl | coauthors = Stanley Dermott | year = 1999 | title = Solar System Dynamics | publisher = Cambridge UP | isbn = 0-521-57295-9}}
* {{Cite book |ref= harv|last= Symon |first= Keithe R. |title= Mechanics | edition = 3rd edition |publisher= Addison-Wesley |year= 1971 |isbnid=ISBN 0-201-07392-7 }}
* {{Cite book |ref= harv|last=Tipler|first=Paul| title=Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.) | publisher=W. H. Freeman | year=2004 | ISBN=0-7167-0809-4}}
* {{Cite book |ref= harv|last = Goldstein | first = Herbert | coauthors = Charles Poole, John Safko | year = 2002 | title = Classical Mechanics | edition = 3e | publisher = Addison Wesley | ISBN = 0-201-65702-3}}