Razlike između izmjena na stranici "Numerička analiza"

m
nema sažetka uređivanja
m (Bot: migracija 60 međuwiki veza sada dostupnih na stranici d:q11216 na Wikidati)
m
'''Numerička analiza''' je grana [[Numerička matematika|numeričke matematike]] koja se bavi pronalaženjem i unapređivanjem [[algoritam]]a za numeričko izračunavanje vrijednosti vezanih uz matematičku analizu, poput numeričkog integriranja, numeričkog deriviranja i numeričkog rješavanja diferencijalnih jednadžbi. Sastavni dio numeričke analize je i ocjenjivanje grešaka metoda (algoritama) i to na dvije razine -- analiza grešaka same metode, te analiza grešaka koje nastaju izvrednjavanjem, a vezane su uz arhitekturu [[računalo|računala]] <ref>http://web.math.pmf.unizg.hr/~rogina/2001096/num_anal.pdf Pristupljeno: 20. rujna 2013.</ref>.
'''Numerička analiza''' je grana [[matematika|matematike]] koja se bavi pronalaženjem približnih rešenja za probleme čije tačno rešenje nije moguće, ili je neizvodljivo.<ref>[http://eom.springer.de/N/n120130.htm Encyclopaedia of Mathematics - Springer Online Reference Works]</ref>
 
Pri rešavanju mnogih praktičnih problema, [[teorijska matematika]] može dokazati da postoji rešenje ili da je jedinstveno, ali ne i dati postupak dolaska do tog rešenja. Zato [[numerička analiza]] ima za cilj da pronađe približno numeričko rešenje određenog problema, da bi se ono moglo iskoristiti u raznim [[inženjerstvo|inženjerskim]] disciplinama (kao što je npr. [[softversko inženjerstvo]]).
 
Potrebe za numeričkim rješavanjem matematičkih problema su višestruke. Kod nekih problema, dokazano je da analitičko rješenje (rješenje zapisano pomoću elementarnih funkcija) ne postoji -- primjerice rješenje integrala <math> \int e^{x^2} \, dx</math> nemoguće je zapisati pomoću elementarnih funkcija. Pa ipak, određeni integral <math> \int_a^b e^{x^2} \, dx</math> predstavlja konkretnu, jedinstveno određenu površinu. Do te vrijednosti, koja ima široku upotrebu npr. u statistici, moguće je doći samo numeričkim metodama. Osim toga, numeričke metode često se koriste za određivanje rješenja matematičkih problema koji bi zbog svoje veličine, kroz standardni postupak rješavanja, predugo trajali -- primjerice, kada je potrebno riješiti sustav od 10 000 jednadžbi s 10 000 nepoznanica. I konačno, numeričke metode su nezaobilazne u aproksimativnom računu, kada se aproksimacijama (i ocjenama pripadnih grešaka) zamjenjuje stvarna vrijednost funkcije do koje je nemoguće ili preteško doći. To su metode poput [[Metoda konačnih elemenata|metode konačnih elemenata]] ili pak kubičnih splineova kojima se aproksimira ponašanje nepoznate funkcije o kojoj znamo tek konačan broj vrijednosti, najčešće dobijenih mjerenjima.
U softverskom inženjerstvu najčešće koristimo iterativne postupke, čije se rešenje približava tačnom, ali zbog konačnog broja ponavljanja uvek neznatno odstupa. Cilj je naći rešenje koje što manje odstupa od tačnog. Odstupanje približnog od tačnog rešenja je greška(npr. apsolutna, relativna, greška približne vrednosti funkcije, itd.
 
Greške se javljaju zbog numeričkih postupaka, kao i zbog ulaznih podataka. Prema poreklu, greške mogu biti:
== Numeričko integriranje ==
 
[[Image:Composite_trapezoidal_rule_illustration.png|right|thumb|Površina ispod funkcije ''f''(''x'') (označene plavom) aproksimira se površinom trapeza ispod po dijelovima linearne aproksimacije (označene crvenom).]] Jedan od najčešćih problema s kojima se susrećemo u numeričkoj analizi je računanje vrijednosti [[Integral|određenog integrala]]
<math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx </math>.
 
Dvije osnovne metode numeričke integracije su proširena [[trapezna formula]] i proširena [[Simpsonova formula]]<ref>http://web.math.pmf.unizg.hr/~rogina/2001096/num_anal.pdf str. 478, pristupljeno: 20. rujna 2013.</ref>.
 
Kod proširene '''trapezne formule''', interval integracije [a,b] podijeli se u ''n'' podintervala uz slijedeću oznaku: a=x<sub>0</sub><x<sub>1</sub><...<x<sub>n</sub>=b. U svim se točkama razdiobe izračunaju vrijednosti podintegralne funkcije y<sub>i</sub>=f(x<sub>i</sub>), te se nad svakim podintegralom formira trapez spajanjem točaka T<sub>i</sub>(x<sub>i</sub>,y<sub>i</sub>) i T<sub>i+1</sub>(x<sub>i+1</sub>,y<sub>i+1</sub>). Tim se trapezom, čija je površina jednaka P<sub>i</sub>=(x<sub>i+1</sub>-x<sub>i</sub>)(y<sub>i</sub>+y<sub>i+1</sub>)/2, aproksimira stvarna površina ispod funkcije ''f(x)'' na tom intervalu. Uz uobičajen postupak ekvidistantne razdiobe, tj razdiobe intervala na ''n'' jednakih podintervala (kod kojeg je x<sub>i+1</sub>-x<sub>i</sub>=(b-a)/n ), te zbrajanjem površina trapeza konstruiranih nad svim intervalima razdiobe dobijamo trapeznu formulu:
 
:<math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx \, \approx \, \frac{b-a}{2n} \cdot(y_0 + 2y_1 + 2y_2 + \ldots + 2y_{n-1} + y_n) </math>
 
Ocjena greške ove numeričke aproksimacije dana je s:
 
:<math> E(f) = \max_{\xi\in[a,b]} \frac{(b-a)^3}{12n^2} |f''(\xi)|.</math>
 
[[Image:Simpsons_method_illustration.png|right|thumb|Površina ispod funkcije ''f''(''x'') (označene plavom) aproksimira se površinom ispod parabole koja interpolira funkciju u tri zadane točke (označene crvenom).]] Proširena '''Simpsonova formula''', kao i ''trapezna formula'' počinje razdiobom intervala ''[a,b]'' na ''n'', ne nužno, jednakih podintervala. No ovoga puta se na svaka dva podintervala, odnosno kroz točke T<sub>i-1</sub>(x<sub>i-1</sub>,y<sub>i-1</sub>), T<sub>i</sub>(x<sub>i</sub>,y<sub>i</sub>) i T<sub>i+1</sub>(x<sub>i+1</sub>,y<sub>i+1</sub>) povlači jedinstveno određena [[kvadratna funkcija]] (parabola). Zbog toga kod provođenja Simpsonove formule ''imamo dodatni zahtjev da je broj podintervala n paran''. Računanjem površina ispod tako kontruiranih parabola, te njihovim zbrajanjem dobijamo proširenu Simpsonovu formulu:
 
:<math>\int_a^b f(x) \, dx\approx
\frac{b-a}{3n}\bigg[y_0+4y_1+2y_2+4y_3y+2y_4+\cdots+4y_{n-1}+y_n\bigg].</math>
 
Ocjena greške proširene Simpsonove formule dana je izrazom:
 
:<math>E(f) = \max_{\xi\in[a,b]} \frac{(b-a)^5}{180 n^4} |f^{(4)}(\xi)|.</math>
 
Kako u pravilu parabola bolje aprokisimira nasumične funkcije od pravca, Simpsonova formula u pravilu daje točniji rezultat od trapezne formule.
 
== Numeričko rješavanje diferencijalnih jednadžbi ==
 
U numeričku analizu spadaju i metode kojima se traži numeričko aproksimativno rješenje "''Cauchyjevog problema''"; [[Diferencijalne_jednadžbe|diferencijalne jednadžbe]] s zadanim početnim uvjetom. Razvijene su metode za numeričko rješavanje običnih, ali i parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Dvije osnovne metode su ''Eulerova metoda'', i familija ''Runge-Kutta metoda''.
 
 
# neotklonjive
# greške metode ili greške odsecanja
# računske greške ili greške zaokruživanja.
 
== Izvori ==
 
{{reflist}}
 
{{Commonscat|Numerical analysis}}
 
 
[[Kategorija:Matematika]]