Polje (matematika) – razlika između verzija

U [[Apstraktnaapstraktna algebra|apstraktnoj algebri]], '''polje''' je [[algebarska struktura]] u kojoj se mogu izvoditioperacija operacije zbrajanjasabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenjadeljenja (osim dijeljenja sdeljenja nulom) mogu da se sprovode, i gdjevaže vrijede poznataista pravila izkoja aritmetikesu običnihpoznata brojeva.iz standardne [[aritmetika|aritmetike]].

Sva polja su [[prsten (matematika)|prsteniprstenovi]], ali nenisu obratnosvi prstenovi polja. Polja se razlikuju od prstenaprstenova najviše po tome što se tražizahtevu da je dijeljenjedeljenje moguće, aali ui, današnje vrijemedanas, također i po tomezahtevu da je operacija množenja una polju bude [[komutativnost|komutativna]]. Inače je struktura tzv. [[prsten s dijeljenjem]], iako su se povijesno prsteni s dijeljenjem nazivali ''polja'', a polja su bila ''komutativna polja''.

OsnovniPrototipski primjerprimer polja je <math>\mathbbskup '''-{Q}</math>-''', polje [[Racionalniracionalan broj|racionalnih brojeva]]. OstaliMeđu važnidrugim primjerivažnim uključujuprimerima je polje [[Realanrealan broj|realnih brojeva]] <math>\mathbb'''-{R}</math>-''', polje [[Kompleksnikompleksan broj|kompleksnih brojeva]] <math>\mathbb'''-{C}</math>-''' i, za bilo kojisvaki [[prost broj]] ''-{p}-'', [[konačno polje]] cijelih[[modularna aritmetika|celih brojeva modulopo modulu ''-{p}-'']], oznakašto <math>\mathbbse označava -{'''Z}'''/''p\mathbb{'''''Z}''', F<sub>''p''</mathsub>}- ili -{GF(''p'')}-. Za bilo kojesvako polje ''-{K}-'', skup -{''K''(''X''), tj. skup}- [[racionalneracionalna funkcijefunkcija|racionalnih funkcija]] ssa koeficijentima iz ''-{K}-'' je takođertakođe polje.

Matematička disciplina koja se bavi proučavanjemproučava polja se naziva [[teorija polja (matematika)|teorija polja]].

=== Definicija 1 ===

''Polje'' je komutativankomutativni [[prsten ssa dijeljenjem (matematika)|prsten s dijeljenjemdeljenjem]].

=== Definicija 2 ===

''Polje'' je [[komutativnikomutativan prsten]] -{(<math>\mathbb{''F}</math>'', +, *)}- takav da je 0 različitonije odjednako 1 i da svi elementi odiz <math>\mathbb''-{F}</math>-'' osimizuzev nule0 imaju multiplikativni inverz za množenje. (VažnoValja imati jeu primjetitividu da su 0 i 1 ovdje redom označavaju neutralne elementeneutrali za operacije + i * redom, te sei mogu se razlikovati od poznatih realnih brojeva [[0 (broj)|0]] i [[1 (broj)|1]]).

=== Definicija 3 ===

Eksplicitno, polje jedefinišu definiranosledeća sljedećim svojstvimasvojstva:

:; Zatvorenost odskupa <math>\mathbb''-{F}</math>-'' zau odnosu na + i * : <math>\forallZa svako ''-{a}-'', ''-{b}-'' \iniz \mathbb''-{F}</math>-'', <math>i -{''a'' + ''b \in \mathbb{F''}</math>- i <math>-{''a'' * ''b''}- \inpripadaju \mathbb''-{F}</math>-'' (ili formalnije, + i * su [[binarna operacija (matematika)|binarne operacije]] na ''-{F}-'').

:; I + i * su asocijativne operacije : <math>\forallZa svako -{''a'', ''b'', ''c''}- \iniz \mathbb-{''F}</math>'', <math>''a'' + (''b'' + ''c'') = (''a'' + ''b'') + ''c</math>''}- i <math>-{''a'' * (''b'' * ''c'') = (''a'' * ''b'') * ''c</math>''}-.

:; I + i * su komutativne operacije : <math>\forallZa svako -{''a'', ''b''}- \iniz \mathbb-{''F}</math>'', <math>''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a</math>''}- i <math>-{''a'' * ''b'' = ''b'' * ''a</math>''}-.

:; VrijediOperacija distributivnost* operacijeje *distributivna nad premaoperacijom + : <math>\forallZa svako -{''a'', ''b'', ''c''}-, \iniz \mathbb-{''F}</math>'', <math>''a'' * (''b'' + ''c'') = (''a'' * ''b'') + (''a'' * ''c'')</math>}-.

:; Postojanje neutralnogaditivnog elementaneutrala za: zbrajanje :Postoji <math>\existselement 0 \inu \mathbb''-{F}</math>-'', takav da jeza <math>\forallsvako ''-{a}-'' \iniz \mathbb-{''F}</math>'', <math>''a'' + 0 = 0 + ''a = a</math>''}-.

:; Postojanje neutralnogmultiplikativnog elementa za množenjeneutrala : <math>\existsPostoji element 1 \inu \mathbb''-{F}</math>-'' različit od 0, takav da jeza <math>\forallsvako ''-{a}-'' \iniz \mathbb''-{F}</math>-'', <math>''-{a}-'' * 1 = 1 * ''-{a = a</math>}-''.

:; Postojanje aditivnih inverza za zbrajanje : <math>\forallZa svako ''-{a}-'' \iniz \mathbb''-{F}</math><math>\exists-'', postoji element &minus;''-{a}-'' \iniz \mathbb''-{F}</math>-'', takav da je <math>-{''a'' + (-&minus;''a'') = -a + a = 0</math>}-.

:; Postojanje multiplikativnih inverza : za množenjesvako :''-{a}-'' <math>\forall≠ a0 \iniz \mathbb''-{F}-'', apostoji \neqelement 0-{''a''</mathsup>, &minus;1<math/sup>\exists a^{}-1} \iniz \mathbb''-{F}</math>-'', takav da je <math>-{''a'' * ''a^{-''^&minus;1} = a^{-1} * a = 1</math>-.

UvjetZahtev da je 0 ≠ 1 osigurava da skup koji sadrži samo jedan element nije polje. IzravnoDirektno iz aksiomaaksoma, može se može pokazati da su -{(<math>\mathbb{F}</math>, +)}- i<br> -{(<math>\mathbb{F}\setminus \&minus; {0\}</math>, *)}- su komutativne [[grupa (matematika)|grupe]] ([[abelova grupa|abelove grupe]],) i tadada su stoga aditivni inverz &minus;''-{a}-'' i multiplikativni inverz -{''a''^&minus;1}- jedinstveno određeni ssa ''-{a}-''. OstalaMeđu korisnadrugim pravilakorisnim uključuju:pravilima su

:-{&minus;''a'' = (&minus;1) * ''a''}-

:-{&minus;(''a'' * ''b'') = (&minus;''a'') * ''b'' = ''a'' * (&minus;''b''),}-

:-{''a'' * 0 = 0.,}-