Verzija na datum 11 mart 2013 u 17:25 uredi Legobot (razgovor \| doprinos) 53.537 izmena m Bot: Migrating 15 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q1412452 (translate me) ← Starija izmjena		Aktualna verzija na datum 13 juni 2013 u 09:20 uredi poništi Kolega2357-Bot (razgovor \| doprinos) 64.473 izmene m Bot: popravljanje preusmjeravanja
Red 5: Kako mjeriti [[fraktal]]e? Uzmimo za primjer [[Kochova krivulja\|Kochovu krivulju]]. To je [[krivulja]], pa bi bilo logično mjeriti njezinu [[duljinu]], u [[metar\|metrima]]. Mjerit ćemo ju na način na koji mjerimo ostale nepravilne krivulje – [[aproksimacija\|aproksimacijom]]. Uzimamo sve manje i manje dužine i stavljamo ih uz krivulju te nam zbroj njihovih duljina daje aproksimaciju duljine krivulje. Pokušajmo istom metodom izmjeriti duljinu Kochove krivulje. Recimo da je prvi segment duljine 1m. To nam ne daje dovoljnu preciznost, pa uzimamo manje segmente. Nakon prve iteracije imamo četiri segmenta duljine 1/3 m. Zbroj tih segmenata daje nam duljinu od 4/3 m. Ako nastavimo dalje, krivulja će nakon treće iteracije imati duljinu 16/9 m. [[matematička indukcija\|Matematičkom indukcijom]] dolazimo do opće formule <math> \mathit{L} = \left ( \frac{4}{3} \right)^n </math> , ako je n broj iteracija. Kod krivulje iz našeg primjera (s prvim segmentom duljine 1m) duljina krivulje nakon 128 iteracija bila bi približno jednaka jednoj [[svjetlosna godina\|svjetlosnoj godini]] (9.46∙10<sup>15</sup>m). Pošto "prava" Kochova krivulja ima beskonačno mnogo iteracija, dolazimo do zaključka da je njezina duljina beskonačna, kao i duljina svakog njenog segmenta. Očito smo se prevarili u pokušaju mjerenja duljine Kochove krivulje, ali bismo joj možda mogli izmjeriti [[površina (geometrija)\|površinu]], u kvadratnim metrima. Opet ćemo se poslužiti metodom aproksimacije. Nakon prve iteracije, aproksimacija površine je trokut površine <math>\frac{\sqrt{3}}{12}</math>. Sljedeće iteracije daju po četiri puta više sličnih trokuta devet puta manje površine. Opća formula površine glasi <math>\frac{\sqrt{3}}{12} \cdot \left ( \frac{4}{9} \right)^n </math> . Kada ''n'' teži u beskonačno, drugi faktor (a time i cijela površina) teži nuli. Vidimo da površina Kochove krivulje ne postoji. Pa, ako ne možemo mjeriti ni duljinu ni površinu, kako možemo mjeriti fraktale? Vidimo da je Kochova krivulja "prevelika" da bi bila jednodimenzionalna linija, a "pretanka" da bi bila dvodimenzionalna površina. Dakle, vrijednost njezine dimenzije bi trebala biti negdje između jedan i dva. Na neki način, za Kochovu krivulju moramo naći mjernu jedinicu, m<sup>''d''</sup>, koja je "između" metra i kvadratnog metra. Za ''d'' uzimamo vrijednost fraktalne dimenzije. == Dimenzija samosličnosti == Dimenzija samosličnosti koristi promjenu mjere ([[~~duljina~~dužina\|duljine]], [[površina (geometrija)\|površine]], [[volumen]]a...) u odnosu na mijenjanje broja iteracija kod potpuno samosličnih [[fraktal]]a. Kod [[Kochove krivulje]] svaka sljedeća iteracija daje četiri puta više segmenata tri puta manje duljine. Ako broj segmenata označimo s ''N'', a duljinu segmenta s ''L'', ukupna će duljina krivulje biti ''NL''. Za Kochovu krivulju stoga vrijedi <math>4 \mathit{N} \left( \frac{\mathit{L}}{3} \right) = \mathit{N} \mathit{L}^{\mathit{d}} </math>, ako za mjeru duljine uvrstimo spomenuti "''d''-dimenzionalni metar", md. Preuređivanjem jednadžbe dobivamo <math>\mathit{d} = \log_3 4</math>, ili češće <math>\mathit{d}=\frac{\log4}{\log3}</math>. Prema tome, mjerna jedinica za Kochovu krivulju bi bila otprilike m<sup>1.2619</sup>. Općenito, fraktalna dimenzija potpuno samosličnog fraktala računa se po formuli <math>\mathit{d}=\frac{\log \mathit{N}}{\log \mathit{L}}</math>. == Minkowski-Bouligandova dimenzija == Red 19: == Vidi još == * [[Topološka dimenzija]] * [[~~Fraktali~~Fraktal]]i * [[Teorija kaosa]]

Fraktalna dimenzija – razlika između verzija