|
Odatle je jasno da je skalarna tangencijalna komponenta ubrzanja jednaka derivaciji iznosa brzine po vremenu - te da je pozitivna kad se brzina povećava, a negativna kad se brzina umanjuje. Skalarna normalna komponenta ubrzanja uvijek je pozitivna, jer se brzina zakreće u smjeru normale. Njezin iznos, međutim, određuje se na temelju gornjeg formalnog izvoda, ili na temelju analize kružnog gibanja. (Ipak, i sa skice se razabire da taj iznos treba biti jednak <math>\scriptstyle v \omega </math>, zato što je iznos <math>\scriptstyle \Delta \vec v_n </math> približno jednak umnošku iznosa brzine i kuta njezinoga zakretanja.)
=== TangentialTangencijalno andi centripetalcentripetalno accelerationubrzanje ===
[[File:Oscillating pendulum.gif|thumb|left|AnOscilujuće oscillating pendulumklatno, withsa velocityobeleženom andbrzinom accelerationi markedubrzanjem. It experiencesOno bothdoživljava tangentialtangencijalno andi centripetalcentripetalno accelerationubrzanje.]]
[[File:Acceleration components.JPG|right|thumb|ComponentsKomponente ofubrzanja accelerationza forkrivolinijsko a curved motionkretanje. The tangentialTangencijalna componentkomponenta '''a'''<sub>t</sub>'' isje dueusled topromene thebrzine change in speed of traversalkretanja, andi pointstačke alongduž thekrive curvesu inu thepravcu directionvektora of the velocity vectorbrzine (or inili theu oppositesuprotnom directionsmeru). TheNormalna normal componentkomponenta (alsoili calledcentripetalna centripetalkomponenta componentkod forkružnog circular motionkretanja) '''a'''<sub>c</sub>'' isje dueusled topromene thesmerea changevektora inbrzine directioni ofnormalna theje velocityna vector and is normal to the trajectorytrajektoriju, pointing toward the centersa ofsmerom curvatureka ofcentru thezakrivljenja pathputa.]]
{{see also|Centripetal force#Local coordinates|l1=Local coordinates}}
Brzina čestice koja se kreće na zakrivljenom putu kao [[funkcija (matematika)|funkcija]] vremena se može zapisati kao:
The velocity of a particle moving on a curved path as a [[function (mathematics)|function]] of time can be written as:
:<math>\mathbf{v} (t) =v(t) \frac {\mathbf{v}(t)}{v(t)} = v(t) \mathbf{u}_\mathrm{t}(t) , </math>
withgde je ''v''(''t'') equal to the speed of traveljednako alongbrzini theduž pathputa, anda
:<math>\mathbf{u}_\mathrm{t} = \frac {\mathbf{v}(t)}{v(t)} \ , </math>
aje [[Differentialjedinična geometryvektorske oftangenta curves#Tangentna vector|unitputu, vectorkoja tangent]]je tousmerena the path pointing in the direction of motion at theu chosenpravcu momentkretanja indatog timemomenta. TakingUzimajući into account bothu theobzir changingpromenu speedbrzini ''v(t)'' andi thepromenu changing direction ofsmera '''u'''<sub>''t''</sub>, theubrzanje accelerationčestice ofkoja ase particlekreće movingduž onzakrivljenog aputa curvedse pathmože canzapisati bekoristeći written[[Pravilo usingderivacije thesložene [[chainfunkcije rule|lančano pravilo]] of differentiationdiferencijacije<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/ChainRule.html|title= Chain Rule}}</ref> for the product ofza twoproizvod functionsdve offunkcije timevremena askao:
:<math>\begin{alignat}{3}
\end{alignat}</math>
gde je '''u'''<sub>n</sub> jedinica normalnog vektora na trajektoriju čestice (koja se takođe naziva ''principalnom normalom''), i '''r''' je njen [[Zakrivljenost |trenutni prečnik]] krive baziran na [[Dodirna kružnica|dodirnoj kružnici]] u vremenu ''t''. Te komponente se nazivaju tangencijalnim ubrzanjem i normalnim ili radijalnim ubrzanjem (ili centripetalnim ubrzanjem kružnog kretanja, vidi takođe [[Kružno gibanje |kružno kretanje]] i [[centripetalna sila|centripetalnu silu]]).
where '''u'''<sub>n</sub> is the unit (inward) [[Differential geometry of curves#Normal or curvature vector|normal vector]] to the particle's trajectory (also called ''the principal normal''), and '''r''' is its instantaneous [[Curvature#Curvature of plane curves|radius of curvature]] based upon the [[Osculating circle#Mathematical description|osculating circle]] at time ''t''. These components are called the [[tangential acceleration]] and the normal or radial acceleration (or centripetal acceleration in circular motion, see also [[circular motion]] and [[centripetal force]]).
GeometricalGeometrijska analysisanaliza oftrodimenzionalnih three-dimensional space curveskrivih, whichkoja explainsobjašnjava tangenttangencijalno, (principalprincipijalno) normalnormalno andi binormalbinormalno kretanje, isje described by theopisana [[Frenet–SerretFrenet–Seretova formula|Frenet–Seretovim formulasformulama]].<ref name = Andrews>{{cite book |title = Mathematical Techniques for Engineers and Scientists |author = Larry C. Andrews & Ronald L. Phillips |page = 164 |url = http://books.google.com/books?id=MwrDfvrQyWYC&pg=PA164&dq=particle+%22planar+motion%22#PPA164,M1
|isbn = 0-8194-4506-1 |publisher = SPIE Press |year = 2003 }}</ref><ref name = Chand>{{cite book |title = Applied Mathematics |page = 337 |author = Ch V Ramana Murthy & NC Srinivas |isbn = 81-219-2082-5|url = http://books.google.com/books?id=Q0Pvv4vWOlQC&pg=PA337&vq=frenet&dq=isbn=8121920825|publisher = S. Chand & Co. |year = 2001 |location = New Delhi }}</ref>
| 