Wikipedija

Numerička analiza – razlika između verzija

Interaktivna pretraga historije
← Starija izmjenaNovija izmjena →
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
VizualnoWikitekst
Red 259:
[[Datoteka:Composite_trapezoidal_rule_illustration.png|right|thumb|Površina ispod funkcije ''f''(''x'') (označene plavom) aproksimira se površinom trapeza ispod po dijelovima linearne aproksimacije (označene crvenom).]]
 
Jedan od najčešćih problema s kojima se susrećemo u numeričkoj analizi je računanje vrijednosti [[Integral|određenog integrala]]: <math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx </math>. Numerička integracija je u nekim okolnostima poznata kao numerička [[kvadratura (matematika)|kvadratura]]. Popularne metode koriste jednu od [[Njutn-Kouts formule|Njutn–Koutsovih formula]] (poput pravila srednje tačke ili [[Simpsonovo pravilo|Simpsonovog pravila]]) ili [[Gausova kvadratura|Gausove kvadrature]]. Te metode se oslanjaju na strategiju „podeli i pokori“, tako što se integral na relativno velikom setu podeli u integrale na manjim setovima. U slučajevima velikog broja dimenzija, gde su ti metodi nedopustivo skupi u pogledu računarskih zahteva, pribegava se primeni [[Monte Carlo simulacija |Monte Karlovog]] ili [[kvazi-Monte Karlo metod|kvazi-Monte Karlovog metoda]] (pogledajte [[Monte Karlo integracija]]), ili, kod umereno velikog broja dimenzija, metoda [[retka mreža|retke mreže]].
Numerical integration, in some instances also known as numerical [[quadrature (mathematics)|quadrature]], asks for the value of a definite [[integral]]. Popular methods use one of the [[Newton–Cotes formulas]] (like the midpoint rule or [[Simpson's rule]]) or [[Gaussian quadrature]]. These methods rely on a "divide and conquer" strategy, whereby an integral on a relatively large set is broken down into integrals on smaller sets. In higher dimensions, where these methods become prohibitively expensive in terms of computational effort, one may use [[Monte Carlo method|Monte Carlo]] or [[quasi-Monte Carlo method]]s (see [[Monte Carlo integration]]), or, in modestly large dimensions, the method of [[sparse grid]]s.
 
DvijeDve osnovne metode numeričke integracije su proširena [[trapezna formula]] i proširena [[Simpsonova formula]]<ref>http://web.math.pmf.unizg.hr/~rogina/2001096/num_anal.pdf str. 478, pristupljeno: 20. rujna 2013.</ref>.▼
Jedan od najčešćih problema s kojima se susrećemo u numeričkoj analizi je računanje vrijednosti [[Integral|određenog integrala]]
<math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx </math>.
 
▲Dvije osnovne metode numeričke integracije su proširena [[trapezna formula]] i proširena [[Simpsonova formula]]<ref>http://web.math.pmf.unizg.hr/~rogina/2001096/num_anal.pdf str. 478, pristupljeno: 20. rujna 2013.</ref>.
 
Kod proširene '''trapezne formule''', interval integracije [a,b] podijeli se u ''n'' podintervala uz slijedeću oznaku: a=x<sub>0</sub><x<sub>1</sub><...<x<sub>n</sub>=b. U svim se točkama razdiobe izračunaju vrijednosti podintegralne funkcije y<sub>i</sub>=f(x<sub>i</sub>), te se nad svakim podintegralom formira trapez spajanjem točaka T<sub>i</sub>(x<sub>i</sub>,y<sub>i</sub>) i T<sub>i+1</sub>(x<sub>i+1</sub>,y<sub>i+1</sub>). Tim se trapezom, čija je površina jednaka P<sub>i</sub>=(x<sub>i+1</sub>-x<sub>i</sub>)(y<sub>i</sub>+y<sub>i+1</sub>)/2, aproksimira stvarna površina ispod funkcije ''f(x)'' na tom intervalu. Uz uobičajen postupak ekvidistantne razdiobe, tj razdiobe intervala na ''n'' jednakih podintervala (kod kojeg je x<sub>i+1</sub>-x<sub>i</sub>=(b-a)/n ), te zbrajanjem površina trapeza konstruiranih nad svim intervalima razdiobe dobijamo trapeznu formulu:
Linija 279 ⟶ 276:
\frac{b-a}{3n}\bigg[y_0+4y_1+2y_2+4y_3y+2y_4+\cdots+4y_{n-1}+y_n\bigg].</math>
 
OcjenaOcena greške proširene Simpsonove formule danadata je izrazom:
 
:<math>E(f) = \max_{\xi\in[a,b]} \frac{(b-a)^5}{180 n^4} |f^{(4)}(\xi)|.</math>
 
Kako u pravilu parabola bolje aprokisimira nasumične funkcije od pravca, Simpsonova formula u pravilu daje točnijitačniji rezultat od trapezne formule.
 
== Numeričko rješavanje diferencijalnih jednadžbi ==
Izvor: https://sh.wikipedia.org/wiki/Numerička_analiza