Verzija na datum 19 juli 2012 u 22:49 uredi YFdyh-bot (razgovor \| doprinos) Botovi 10.211 izmena m r2.7.3) (robot Dodaje: sr:Ермитеови полиноми ← Starija izmjena		Verzija na datum 20 juli 2012 u 00:10 uredi poništi Xqbot (razgovor \| doprinos) 112.443 izmene m r2.7.3) (Bot: mijenja sr:Ермитеови полиноми sa sr:Ермитови полиноми; kozmetičke promjene Novija izmjena →
Red 1: '''Ermiteovi polinomi''' predstavljaju ortogonalni niz polinoma. Imenovani su prema [[Šarl Ermit\|Šarlu Ermitu]], koji ih je izučavao [[1864]]. godine. Polinomi su od značaja u teoriji verovatnosti, kombinatorici i numeričkoj analizi. U fizici Hermiteovi polinomi predstavljaju svojstvena stanja kvantnoga harmoničkoga oscilatora. ==~~Definicija~~ Definicija == Postoje dva standardna načina normalizacije Ermiteovih polinoma: :<math>(1)\ \ {\mathit{He}}_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}\,\!</math> Red 9: :<math>(2)\ \ H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}=e^{x^2/2}\bigg (x-\frac{d}{dx} \bigg )^n e^{-x^2/2}\,\!</math> ('''"fizikalni' Ermiteovi polinomi"'''). Te dve definicije nisu potpuno ekvivalentne, pa postoji transformacija između dve definicije: :<math>H_n(x)=2^{n/2}{\mathit{He}}_n(\sqrt{2}\,x), \qquad {\mathit{He}}_n(x)=2^{-\frac n 2}H_n\left(\frac x\sqrt{2}\right).</math> [[~~Image~~Datoteka:Hermite poly.svg\|mini\|d\|340p\|Prvih šest probabilističkih Ermiteovih polinoma ''He''<sub>''n''</sub>(''x'').]] Prvih jedanaest polinoma je: :<math>{\mathit{He}}_0(x)=1\,</math> Red 26: :<math>{\mathit{He}}_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x\,</math> :<math>{\mathit{He}}_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945\,</math> [[~~Image~~Datoteka:Hermite poly phys.svg\|mini\|d\|350p\|Prvih šest fizikalnih Ermiteovih polinoma ''H''<sub>''n''</sub>(''x'').]] Prvih nekoliko fizikalnih Ermiteovih polinoma: Red 54: </math> ==~~Ortogonalnost~~ Ortogonalnost == ''H''<sub>''n''</sub>(''x'') i ''He''<sub>''n''</sub>(''x'') predstavljaju polinome ''n''toga-stepena za ''n'' = 0, 1, 2, 3, .... Ti polinomi su ortogobnalni u odnosu na težinsku funkciju (meru) :<math>w(x) = \mathrm{e}^{-x^2/2}\,\!</math>   (''He'') ili :<math>w(x) = \mathrm{e}^{-x^2}\,\!</math>   (''H'') tj. mi immo: Red 67: kada je ''m'' ≠ ''n''. Dalje, :<math>\int_{-\infty}^\infty {\mathit{He}}_m(x) {\mathit{He}}_n(x)\, \mathrm{e}^{-x^2/2} \, \mathrm{d}x = \sqrt{2 \pi} n! \delta_{nm}</math>   (probabilistički) ili :<math>\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = \sqrt{ \pi} 2^n n! \delta_{nm}</math>   (fizikalna). Probabilistički polinomi su dakle ortogonalni u odnosu na standardnu normalnu funkciju gustine verovatnoće. == Rekurzivne relacije == Ermiteovi polinomi takođe zadovoljavaju sledeće rekurzije: :<math>{\mathit{He}}_{n+1}(x)=x{\mathit{He}}_n(x)-{\mathit{He}}_n'(x).\,\!</math> (probabilistička) :<math>H_{n+1}(x)=2 xH_n(x)-H_n'(x).\,\!</math> (fizikalna) Ermiteovi polinomi predstavljaju [[Apelov niz]], tj. oni zadovoljavaju sledeće jednačine :<math>{\mathit{He}}_n'(x)=n{\mathit{He}}_{n-1}(x),\,\!</math> (probabilistička) :<math>H_n'(x)=2nH_{n-1}(x),\,\!</math> (fizikalna) ili ekvivalentno, :<math>{\mathit{He}}_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k} {\mathit{He}}_{k}(y)</math> (probabilistička) :<math>H_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}H_{k}(x) (2y)^{(n-k)}= 2^{-\frac n 2}\cdot\sum_{k=0}^n {n \choose k} H_{n-k}\left(x\sqrt 2\right) H_k\left(y\sqrt 2\right).</math> (fizikalna) Ermiteovi polinomi zadovoljavaju takođe sledeće rekurentne relacije: :<math>{\mathit{He}}_{n+1}(x)=x{\mathit{He}}_n(x)-n{\mathit{He}}_{n-1}(x),\,\!</math> (probabilistička) :<math>H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x).\,\!</math> (fizikalna) Te poslednje relacije često se koriste da bi se pomoću početnih polinoma izračunali ostali. == Generirajuće funkcije == Ermiteovi polinomi mogu da se predstave i eksponencijalnom generirajućom funkcijom: :<math>\exp (xt-t^2/2) = \sum_{n=0}^\infty {\mathit{He}}_n(x) \frac {t^n}{n!}\,\!</math> (probabilistička) :<math>\exp (2xt-t^2) = \sum_{n=0}^\infty H_n(x) \frac {t^n}{n!}\,\!</math> (fizikalna). == Eksplicitni izraz == Fizikalni Ermiteovi polinomi mogu da se napišu eksplicitno kao: Red 109: :<math> H_n(x) = n! \sum_{\ell = 0}^{n/2} \frac{(-1)^{n/2 - \ell}}{(2\ell)! (n/2 - \ell)!} (2x)^{2\ell} </math> za parne ''n'' i :<math> H_n(x) = n! \sum_{\ell = 0}^{(n-1)/2} \frac{(-1)^{(n-1)/2 - \ell}}{(2\ell + 1)! ((n-1)/2 - \ell)!} (2x)^{2\ell + 1} </math> za neparne ''n.'' Te dve jednačine mogu da se kombiniraju u jednu: :<math> H_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^m}{m!(n - 2m)!} (2x)^{n - 2m}. </math> == Ermiteova diferencijalna jednačina == Probabilistički Ermiteovi polinomi predstavljaju rešenje diferencijalne jednačine: :<math>(e^{-x^2/2}u')' + \lambda e^{-x^2/2}u = 0</math> gde je λ konstanta, sa graničnim uslovom da ''u'' treba da bude polinom ograničen u beskonačnosti. Rešenje jednačine sa graničnim uslovom je ''u''(''x'') = ''H''<sub>λ</sub>(''x''). Diferencijalna jednačina može i da se napiše u obliku: :<math>L[u] = u'' - x u' = -\lambda u</math> Takva jednačina naziva se Ermiteova jednačina, iako se taj naziv koristi i za blisko povezanu jednačinu: :<math>u'' - 2xu'=-2\lambda u</math> čija rešenja su fiziklani Ermiteovi polinomi. == Ermiteova funkcija == Ermiteove funkcije mogu da se definišu pomoću fizikalnih polinoma:: Red 138: :<math>\psi_n''(x) + (2n + 1 - x^2) \psi_n(x) = 0\,.</math> Ta jednačina ekvivalentna je [[Šredingerova jednačina\|Šredingerovoj jednačini]] za harmonijski oscilator u kvantnoj mehanici, tako da su te funkcije svojstvene funkcije. [[~~Image~~Datoteka:Herm5.svg\|thumb\|center\|450px\|Ermiteove funkcije 0 (crna), 1 (crvena), 2 (plava), 3 (žuta), 4 (zelena), and 5 (ljubičasta).]] Ermiteove funkcije zadovoljavaju sledeće rekurzione relacije: Red 149: :<math>x\;\psi_n(x) = \sqrt{\frac{n}{2}}\psi_{n-1}(x) + \sqrt{\frac{n+1}{2}}\psi_{n+1}(x)</math> == Literatura == * Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-~~0486612720~~0-486-61272-0 [[Kategorija:Polinomi]] Red 173: [[ro:Polinoame Hermite]] [[ru:Многочлены Эрмита]] [[sr:~~Ермитеови~~Ермитови полиноми]] [[sv:Hermitepolynom]] [[tr:Hermit polinomları]]

Ermitovi polinomi – razlika između verzija