Parnost funkcije
U matematici, parne funkcije i neparne funkcije su matematičke funkcije koje zadovoljavaju određene relacije simetričnosti. Važne su u metematičkoj analizi, posebni u teoriji stepenih redova i Furijeovih redova. Nazvane su po parnosti stepena njihovih stepenih redova koji zadovoljavaju svaki od uslova: funkcija xn je parna funkcija ako je n paran ceo broj, a neparna je funkcija ako je n neparan ceo broj.
Parne funkcije
urediNeka je f(x) realna funkcija realne promenljive. Onda je f parna funkcija ako sledeće jednačine važe za svako x u domenu funkcije f:
- .
Geometrijski, parna funkcija je simetrična u odnosu na y osu, što znači da grafik funkcije ostaje nepromenjen posle refleksije oko y ose.
Primeri parnih funkcija su apsolutna vrednost, x2, x4, cos(x), i cosh(x).
Neparne funkcije
urediPonovo, neka je f(x) realna funkcija realne promenljive. Onda je f neparna funkcija ako sledeće jednačine važe za svako x u domenu funkcije f:
- .
Geometrijski, neparna funkcija je simetrična u odnosu na koordinatni početak, što znači da grafik funkcije ostaje nepromenjen posle koordinatne rotacije za 180 stepeni oko koordinatnog početka.
Neke činjenice
urediNapomena: parnost funkcije ne implicira diferencijabilnost, niti čak neprekidnost funkcije. Svojstva koja uključuju Furijeove redove, Tejlorove redove, izvode itd. mogu se koristiti samo ako se pretpostavi da oni postoje.
Osnovna svojstva
uredi- Jedina funkcija koja je u isto vreme i parna i neparna je konstantna funkcija jednaka nuli (tj. f(x) = 0 za svako x).
- Zbir parne i neparne funkcije nije ni parna ni neparna funkcija, osim ako jedna od te dve funkcije nije jednaka nuli.
- Zbir dve parne funkcije je parna funkcija, i rezultat svakog množenja parne funkcije konstantom je takođe parna funkcija.
- Zbir dve neparne funkcije je takođe neparna funkcija, i rezultat svakog množenja neparne funkcije konstantom je neparna funkcija.
- Proizvod dve parne funkcije je parna funkcija.
- Proizvod dve neparne funkcije je parna funkcija.
- Proizvod parne i neparne funkcije je neparna funkcija.
- Količnik deljenja dve parne funkcije je parna funkcija.
- Količnik deljenja dve neparne funkcije je parna funkcija.
- Količnik deljenja parne funkcije i neparne funkcije je neparna funkcija.
- Izvod parne funkcije je neparna funkcija.
- Izvod neparne funkcije je parna funkcija.
- Kompozicija dve parne funkcije je parna, a kompozicija dve neparne funkcije je neparna funkcija.
- Kompozicija parne i neparne funkcije je parna funkcija.
- Kompozicija bilo koje funkcije sa parnom funkcijom je parna funkcija (ali ne važi obratno).
- Integral neparne funkcije od -A do +A je nula (gde je A konačno, a funkcija nema vertikalnih asimptota između -A i A).
- Integral parne funkcije od -A do +A je dvostruko veći od integrala od 0 do +A (gde je A konačno, a funkcija nema vertikalnih asimptota između -A i A).
Redovi
uredi- Meklorenov red parne funkcije uključuje samo parne stepene.
- Meklorenov red neparne funkcije uključuje samo neparne stepene.
- Furijeov red periodične parne funkcije uključuje samo kosinusne članove.
- Furijeov red periodične neparne funkcije uključuje samo sinusne članove.
Algebarske strukture
uredi- Svaka linearna kombinacija parnih funkcija je takođe parna funkcija, i parne funkcije formiraju vektorski prostor nad realnim brojevima. Isto tako, linearna kombinacija neparnih funkcija formira vektorski prostor nad realnim brojevima. U stvari, vektorski prostor svih realnih funkcija je direktna suma linearnih podprostora parnih i neparnih funkcija. Drugim rečima, svaka funkcija se može jedinstveno napisati kao suma parne i neparne funkcije:
- Parne funkcije formiraju K-algebru nad realnim brojevima. S druge strane, neparne funkcije ne formiraju K-algebru nad realnim brojevima.
Povezano
uredi- Hermitijan funkcija za generalizaciju nad kompleksnim brojevima
- Tejlorov red
- Furijeov red