Osnove matematike

СкуповиA  B = {x | x  A или x  B} A  B = {x | x  A и x  B} A / B = {x | x  A и  B} B / A = {x | x  B и  A} Круг Кружница је скуп тачака у равни подједнако удаљени од једне утврђене тачке - центра.


Полупречник-r је дуж која спаја центар са било којом тачком на кружници. Тетива-t је дуж која спаја било које две тачке на кружници. Пречник-R је најдужа тетива, пролази кроз центар и садржи два полупречника. Тангента-t је права која додирује круг и нормална је на полупречник у додирној тачки. Углови

                                 Комплементни углови:  +  = 90


                                 Суплементни (упоредни):  +  = 180


                                 Унакрсни углови:  = ;  =  


                                 Углови са паралелним крацима  

Правила дељивости 1. Број је дељив са 2. ако је паран. 2. Број је дељив са 3. или 9. ако му је збир цифара дељив са 3 или 9. 3. Број је дељив са 4. ако је двоцифрени завршетак дељив са 4. 4. Број је дељив са 25. ако је двоцифрени завршетак 00, 25, 50 или 75. 5. Број је дељив са 5. ако је задња цифра 0 или 5. 6. Број је дељив са 8. ако је троцифрени завршетак дељив са 8. 7. Број је дељив декадном јединицом, ако има најмање онолико нула колико та декадна јединца. 8. Број је дељив са 7, 11 или 13 ако је разлика збира на парним и непарним местима дељива тим бројем.

    Прости бројеви су бројеви који имају тачно два делиоца једног и самог себе.    Нпр.   2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37,41, 43, 47,53, 59.....
    НЗС – најмањи заједнички садржалац
       Правила 
    1.  НЗС простих бројева је њихов производ.
                      S ( 2, 3 ) = 2 3 = 6

2. Ако је већи број дељив мањим онда је НЗС већи број.

                      S ( 6, 18 ) = 18

3. Коначни растав 36, 24 2 S ( 36, 24 ) = 72 18, 12 2

 9, 6    2 
 9, 3    3  
 3, 1    3  
    НЗД- највећи заједнички делилац
       Правила
   1.  НЗД простих бројева је 1.
                      D ( 2, 3 ) = 1
   2.  Ако је већи број дељив мањим НЗД је мањи број.
                      D ( 6, 18 ) = 6
   3.  Коначни раствор 
        36, 24  2    D ( 36, 24 ) = 12
        18, 12  2
          9, 6    3 
         3, 2

Симетрала угла је права која полови угао и пролази кроз теме угла. Особина симетрале угла је: Свака тачка на симетрали је подједнако удаљена од кра- кова угла.

 Шести разред

Природни N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Цели Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...} Рац. Бројеви Q = {p / q | p, q  Z, q  0}

	1.) знак препиши	1.) знак већег препиши

ИСТИ ЗНАК РАЗЛИЧИТ ЗНАК 2.) бројеве сабери 2.) бројеве одузми

Троугао За странице важи | b – c | < a < b + c | a – c | < b < a + c | a – b | < c < a + b  +  +  = 180 1 + 1 + 1 = 360  + 1 = 180  + 1 = 180  + 1 = 180 Врсте троугла Према величини страница Према унутрашњим угловима 1.) Једнакостранични 1.) Оштроугли 2.) Једнакокраки 2.) Правоугли 3.) Неједнакостранични 3.) Тупоугли Елементи троугла Висина троугла је растојањње од темена до наспрамне странице. Тежишна дуж је дуж која спаја теме са средиштем наспрамне странице. Значајне тачке троугла 1.) Центар описаног круга ЦОК- О је пресек симетрала страница троугла. 2.) Центар уписаног круга ЦУК- S је пресек симетрала углова троугла. 3.) Тежиште-t је пресек тежишне дужи и дели тежишну дуж у размери 1 : 2. 4.) Ортоцентар-N је пресек висина. Оштроугли правоугли једнакокраки једнакостранични тупоугли


Ставови подударности Сус усу ссу ссс


Четвороугао је многоугао са четири странице. Дели се на: Паралелограм Трапез Трапезоид ( 2. пара || страница ) ( 1 пар || страница ) ( немају || страница ) правоугли косоугли


Квадрат је једнакостранични паралелограм. Особине квадрата - странице су једнаке - унутрашњи углови су једнаки ( 90 ) - дијагонале су једнаке, полове се и међусобно су нормалне - ЦОК и ЦУК су у пресеку дијагонала - Квадрат има четири осе симетрије - Квадрат је централно симетрична фигура - За конструкцију довољан је један елемент Правоугаоник је правоугли неједнакостранични паралелограм. Особине правоугаоника - Наспрамне странице су једнаке

             AB = CD = a; BC = AD = b

- Дијагонале су једнаке и полове се - Сви углови су прави - Има две осе симетрије - Централно симетрична је фигура - За конструкцију су потребна два елемента Ромб је косоугли једнакостранични паралелограм Особине ромба - Странице су једнаке - Дијагонале су једнаке,

полове се и међусобно су нормалне
          =  ;  = 

- Наспрамни углови су једнаки, а суседни су суплементни - Дијагонале су истовремено и симетрале наспрамних углова - Ромб је осносиметрична фигура и центар симетрије је пресек дијагонала - У ромб се може уписати круг и центар уписаног круга је пресек дијагонала - Висина ромба је растојање између наспрамних страница Паралелограм је четвороугао који има два пара паралелних страница. Особине паралелограма - Наспрамне странице су паралелне и једнаке - Дијагонале се полове - Паралелограми суцентрално симетричне фигуре - Суседни углови су суплементни Према величини страница паралелограме делимо на: Једнакостраничне Неједнакостраничне Квадрат Правоугаоник

		Ромб		Ромбоид

Трапез је четвороугао који има један пар паралелних страница. Елементи трапеза - Основице су паралелне странице - Краци су непаралелне странице - Дијагонале су AC и BD - Висина – h је растојање између паралелних страница - Средња линија – m трапеза је дуж која спаја средиште кракова. Особина средње линије трапеза је да је паралелна са основицама и једнака полузбиру основица.

M = a + b / 2    или     M = AB + CD / 2

Трапез код кога су краци једнаки назива се једнакокраки трапез. Особине једнакокраког трапеза - Краци су једнаки - Дијагонале су једнаке - Углови на истој основици су једнаки - Углови на крацима су суплементни - Оса симетрије је симетрала основица - Око једнакокраког трапеза се може описати круг, а пресек симетрале основица и симетрале крака Ако је један крак нормалан на основице трапез је правоугли.

    +  = 180

Делтоид је четвороугао који има нормалне дијагонале.

   OD = OB         AC  BD

Особине делтоида - Има две једнаке странице AB = AD = a, BC = CD = b - Дијагонале су неједнаке, већа полови мању - Већа дијагонала је оса симетрије и

истовремено симетрала неједнаких углова
    -    Неједнаке странице образују једнаке углове 

- У делтоид се може уписати круг и центар уписаног круга је пресек симетрале једне странице или једног угла и велике дијагонале Формуле Квадрат Једнакостранични троугао O = 4  a O = 3  a P = a2 = d2 /2 P = 0, 865a ru = a /2 h = a √3 /2 ro = d /2 P = a² √3 /4 пт: d √2 Једнакокраки троугао Правоугаоник O = a + 2b O = 2a + 2b P = a  ha /2 P = a  b P = b  hb /2 ro = d /2 пт: b² = ha² + (a/2)² пт: a² = d² – b² (a/2)² = b² – ha² b² = d² – a² ha² = b² – (a/2)² d² = a² + b² Ромб Правоугли троугао О = 4  a O = a + b + c P = a  ha P = a  b /2 = c  hc /2 P = d1  d2 ro = c /2 = tc ro = h/2 пт: c2 = a2 + b2 пт: a² = (d1/2)2 + (d2/2)2 b2 = c2 – a2 (d1/2)2 = a² – (d2/2)2 a2 = c2 – b2 (d2/2)² = a² – (d1/2)² Трапез Коцка O = a + b + c + d P = 6a2 P = m  h = (a + b)  h /2 V = a3 m = a + b /2 d = a√2 x = a – b /2 D = a√3 пт: c2 = x2 + h2 пт: D² = 3a² h2 = c2 – x2 Квадар

  	x2 = c2 – h2	P = 2(ab+ac+bc)	                  

d2 = h2 – (a – h)² V = a b c Рогаљ d2= a2 + b2 α1+α2+ ... +αn< 360˚ D2 = a2+b2+c2 n α < 360˚ n – број страна рогља α – ивични угао

Број правих се израчунва: P= n (n-1)/2 n – број неколинеарних тачака Број равних се израчунава: R= n (n-1) (n-2)/6 n – број правих Број равних се израчунава: R= n (n-1)/2 n - број паралелних прави

Квадрати бројева 12 = 1 62 = 36 112 = 121 162 = 256 212 = 441 22 = 4 72 = 49 122 = 144 172 = 289 222 = 484 32 = 9 82 = 64 132 = 169 182 = 324 232 = 529 42 = 16 92 = 81 142 = 196 192 = 361 242 = 576 52 = 25 102 = 100 152 = 225 202 = 400 252 = 625 Степеновање 4 = 22 9 = 32 25 = 52 8 = 23 27 = 33 125 = 53 16 = 24 81 = 34 625 = 54 32 = 25 243 = 35 64 = 26