Nejednakost

(Preusmjereno sa stranice Nejednadžba)
Za ostala značenja, vidi Nejednakost (razvrstavanje).

U matematici, nejednakost je iskaz o relativnoj veličini ili redu dva predmeta, ili o tome da li oni isti ili nisu (Takođe pogledajte: jednakost)

  • Oznaka a < b znači da je a manje od b.
  • Oznaka a > b znači da je a veće od b.
  • Oznaka ab znači da je a nije jednako sa b, ali ne govori da je jedno veće od drugog, ili čak da se mogu porediti po veličini.
Grafika rešenja sistema lineranih nejednakosti.

U svim ovim slučajevima, a nije jednako sa b, pa postoji „nejednakost“.

Ove relacije se poznate kao stroge nejednakosti

  • Oznaka ab znači da je a manje ili jednako sa b (ili, ekvivalentno, ne veće od b);
  • Oznaka ab znači da je a veće ili jednako sa b (ili, ekvivalentno, ne manje od b);

Postoje i oznake kojim se govori da je jedna veličina mnogo veća od druge, najčešće za nekoliko redova veličine.

  • Oznaka a b znači da je a mnogo manje od b.
  • Oznaka a b znači da je a mnogo veće od b.

Ako je smisao nejednosti isti za sve vrednosti promenljivih za koje su članovi nejednakosti definisani, tada se nejednakost naziva „apsolutnom“ ili „bezuslovnom“ nejednakošću. Ako smisao nejednakosti važi samo sa određene vrednosti promenljivih, ali je suprotna ili se poništava za druge vrednosti tih promenljivih, tada se to naziva „uslovna nejednakost“.

Osobine

uredi

Nejednakostima se manipuliše sledeći osobine. Valja imati u vidu da je za osobine tranzitivnosti, preokreta, sabiranja, oduzimanja, množenja i deljenja, osobina, takođe, važi i kada se znaci stroge nejednakosti (< i >) zamene njihovim odgovarajućim nestrogim znakovima nejednakosti (≤ i ≥).

Trihotomija

uredi

Osobina trihotomije kaže da je:

  • Za sve realne brojeve, a i b, tačno jedno, od sledećeg, je tačno:
    • a < b
    • a = b ** a > b

Tranzitivnost

uredi

Tranzitivnost nejednakosti kaže da je:

  • Za sve realne brojeve, a, b, c:
    • Ako je a > b i b > c; tada je a > c
    • Ako je a < b i b < c; tada je a < c
    • Ako je a > b i b = c; tada je a > c
    • Ako je a < b i b = c; tada je a < c

Sabiranje i oduzimanje

uredi

Osobine vezane za sabiranje i oduzimanje kažu da je:

  • Za sve realne brojeve, a, b, c:
    • Ako je a < b, tada je a + c < b + c i ac < bc
    • Ako je a > b, tada je a + c > b + c i ac > bc

to jest, realni brojevi su uređena grupa.

Množenje i deljenje

uredi

Osobine vezane za množenje i deljenje kažu da je:

  • Za sve realne brojeve, a, b i c različit od nule:
    • Ako je c pozitivan i a < b, tada je ac < bc i a/c < b/c
    • Ako je c negativan i a < b, tada je ac > bc i a/c > b/c

Opštije, ovo važi za uređeno polje.

Aditivni inverz

uredi

Osobine za aditivni inverz kažu da je:

  • Za sve realne brojeve a i b
    • Ako je a < b, tada je −a > −b
    • Ako je a > b, tada je −a < −b

Multiplikativni inverz

uredi

Osobine za multiplikativni inverz kažu da je:

  • Za sve realne brojeve a i b, koji su ili oba pozitivni ili oba negativni
    • Ako je a < b, tada je 1/a > 1/b
    • Ako je a > b, tada je 1/a < 1/b
  • ako su ili a ili b negativni (ali ne oba), i b je različito od nule, onda:
    • Ako je a < b, tada je 1/a < 1/b
    • Ako je a > b, tada je 1/a > 1/b

Nejednakosti između srednjih vrednosti

uredi

Postoji mnogo nejednakosti između srednjih vrednosti. Na primer, za bilo koje pozitivne brojeve a1, a2, …, an, važi da je xGaQ, gde je

  (harmonijska sredina),
  (geometrijska sredina),
  (aritmetička sredina),
  (kvadratna sredina).

Nejednakosti stepena

uredi

Ponekad sa oznakom „stepena nejednakost“ podrazumevaju jednakosti koje sadrže izraz tipa ab, gde su a i b realni pozitivni brojevi ili izrazi nekih promenljivih.

Primeri

uredi
  • Ako je x > 0, tada je
 
  • Ako je x > 0, tada je
 
  • Ako je x, y, z > 0, tada je
 
  • Za bilo koja dva različita broj a i b,
 
  • Ako je x, y > 0 i 0 < p < 1, tada je
 
  • Ako je x, y, z > 0, tada je
 
  • Ako je a, b > 0, tada je
 
  • Ako je a, b>0, tada je
 
Ovaj rezultat uopštio je R. Ozols 2002. godine, kada je dokazato da ako je a1, ..., an > 0, tada je
 
(rezultat je objevljen u letonskom naučnom časopisu zvezdano nebo; pogledajte reference).

Kompleksni brojevi i nejadnakosti

uredi

Skup kompleksnih brojevas   sa svojim operacijama sabiranja i množenja je polje, ali nije moguće definisati nijednu relaciju ≤ tako da   postane uređeno polje. Da bi   postalo uređeno polje, ono mora da zadovolji sledeća dva uslova:

  • ako je ab tada je a + cb + c
  • ako je 0 ≤ a i 0 ≤ b tada je 0 ≤ a b

Pošto je ≤ totalno uređenje, za svako a, ili je 0 ≤ a ili je a ≤ 0 (u tom slučaju prva osobina implicira da je 0 ≤  ). U oba slučaja je 0 ≤ a2; ovo znači da je   i  ; pa je   i  , što znači da je  , što je kontradikcija.

Međutim, operator ≤ se može definisati tako da zadovoljava prvi uslov („ako je ab tada je a + cb + c“). Ponekad se koristi leksikografski poredak:

  • a ≤ b ako je   <   ili (  i   )

Može se lako dokazati da za ovu definiciju ab implicira a + cb + c.

Vektorske nejednakosti

uredi

Relacije nejadnakosti slične onim definisanim gore se mogu takođe definisati za vektor kolonu. Ako se uzmu vektori   (što znači da je   i   gde su   i   realni brojevi za  ), mogu se definisati sledeće relacije:

  •   ako je   za  
  •   ako je   za  
  •   ako je   za   and  
  •   ako je   za  

Slično tome, mogu se definisati relacije za  ,  , i  .

Može se uočiti da je osobina trihotomije nije validna za vektorske relacije. Ako se razmotri slučaj gde je   i  , vidi se da ne postoji velidan odnos nejednakosti između ova dva vektora. Takođe neophodno je da se definiše multiplikativni inverz pre nego što se ovaj uslov razmotri. Međutim, za ostatak gore pomenutih osobina, postoji paralelna osobina za vektorske nejednakosti.

Dobro poznate nejednakosti

uredi
Glavni članak: Spisak nejednakosti

Matematičari često koriste nejednakosti da ograniče veličine za koje se tačne formule ne mogu izračunati lako. Neke nejednakosti se koriste tako često, da čak imaju svoje nazive:

Vidi još

uredi

Izvori

uredi

Eksterni linkovi

uredi