Mandelbrotov skup

Mandelbrotov skup je skup točaka c kompleksne ravnine za koje je Julijin skup (u užem smislu) povezan. Dobio je ime po francusko-američkom matematičaru Benoîtu Mandelbrotu.

Mandelbrotov skup

KonstrukcijaUredi

 
Preko slike Mandelbrotovog skupa nacrtani su mali Julijini skupovi čija vrijednost c odgovara koordinati kompleksne ravnine na kojoj se nalazi središte svakog od njih.

U Julijin skup (u užem smislu), kao što je već rečeno, može se uvrstiti bilo koji kompleksni broj c. Ovisno o tom broju, Julijin skup može biti povezan ili nepovezan. Ako na kompleksnoj ravnini označimo sve brojeve c pomoću kojih se dobiva povezan Julijin skup, definirali smo Mandelbrotov skup. Mandelbrotov se skup može prikazati na isti način na koji se najčešće prikazuje Julijin skup – bojeći točke koje pripadaju skupu crno, a ostale u raznim nijansama ovisno o tome koliko brzo divergiraju.

SvojstvaUredi

OsnovnaUredi

 
Mandelbrotov skup (crno) u kompleksnoj ravnini

Mandelbrotov je skup zatvoren skup kojemu su sve točke unutar (zatvorenog) kruga polumjera 2 sa središtem u ishodištu. Štoviše, točka c pripada Mandelbrotovom skupu ako i samo ako vrijedi   za sve  . Drugim riječima, ako je apsolutna vrijednost   za neki   veća od 2, niz će težiti u beskonačnost (divergirati). Presjek Mandelbrotovog skupa s realnom osi daje interval [−2, 0.25]. Površina se procjenjuje na 1.506 591 77 ± 0.000 000 08, te se vjeruje da je jednako  

SamosličnostUredi

Mandelbrotov je skup kvazi samosličan (vidi Podjela fraktala) jer se u njemu pojavljuju izmijenjene verzije njega samog. Izmijenjene su uglavnom zbog skupova točaka koji "vire" iz njih povezujući ih s glavnim dijelom (dio 1 u podnaslovu ispod, slika desno).

 

Atraktori perioda-nUredi

 
Skupovi točaka konvergiraju onom broju vrijednosti kojim su označene.

Zanimljivo je da u području označenu brojkom 1 na slici sa strane svaka točka konvergira samo jednoj vrijednosti (ne nužno istoj za svaku točku), odnosno tijekom iteracija stvara atraktor perioda-1 (vidi Bifurkacijski dijagram populacijske jednadžbe). Na području 2 svaka točka čini atraktor perioda-2. U Mandelbrotovom skupu postoji barem jedno područje za atraktor perioda-n,  . Područja koja su izravno spojena s područjem 1 tvore atraktor perioda-n ako iz njih "viri" n-1 "antena":

 

Galerija uvećavanjaUredi

Svaka slika predstavlja jedan uvećani dio prethodne. Vidljiva je beskonačna složenost skupa i bogatstvo geometrijskih struktura. Uvećanje zadnje slike u odnosu na prvu je otprilije 60 000 000 000 : 1. Na prosječnom monitoru zadnja slika bi bila dio Mandelbrotovog skupa promjera oko 20 milijuna kilometara.

 
 
I
 
II
 
III
 
IV
 
V
 
VI
 
VII
 
VIII
 
IX
 
X
 
XI
 
XII
 
XII
 
XIV

VarijacijeUredi

 
multibrot skupovi trećeg i četvrtog stupnja

Moguće je napraviti Mandelbrotov skup pomoću funkcije  . Takvi se skupovi popularno nazivaju multibrot skupovima.

Vanjske vezeUredi

Vidi jošUredi