Laplaceova transformacija
Laplasova transformacija (nazvana po Pjer-Simon Laplasu) je integralna transformacija, koja datu kauzalnu funkciju f(t) (original) preslikava iz vremenskog domena (t = vreme) u funkciju F(s) u kompleksnom spektralnom domenu. Laplasova transformacija, iako je dobila ime u njegovu čast, jer je ovu transformaciju koristio u svom radu o teoriji verovatnoće, transformaciju je zapravo otkrio Leonard Ojler, švajcarski matematičar iz osamnaestog veka.
Pojam originala
urediFunkcija t->f(t) naziva se originalom ako ispunjava sledeće uslove:
- 1. f je integrabilna na svakom konačnom intervalu t ose
- 2. za svako t<0, f(t)=0
- 3. postoje M i s0, tako da je
Definicija Laplasove transformacije
urediFunkcija F(s) je »slika« ili laplasova transformacija »originala« f(t).
Za slučaj da je dobija se jednostrana Furijeova transformacija:
Osobine
urediLinearnost
urediTeorema sličnosti
uredi- Ako je , tada je , pri čemu je
Diferenciranje originala
uredi- Ako je i , tada je
Diferenciranje slike
uredi- Ako je , tada je , odnosno indukcijom se potvrđuje da važi
Integracija originala
uredi- Ako je i , tada je
Integracija slike
uredi- Ako postoji integral , tada je
Teorema pomeranja
urediTeorema kašnjenja
urediLaplasova transformacija konvolucije funkcija
urediOva osobina je poznata kao Borelova teorema. Napomena: definicija konvolucije je:
Laplasova transformacija periodičnih funkcija
uredi- Ako ima osobinu , tada važi
Dokaz
urediOdakle sledi:
Tabela najčešće korišćenih Laplasovih transformacija
urediJednostrana Laplasova transformacija ima smisla samo za ne-negativne vrednosti t, stoga su sve vremenske funkcije u tabeli pomožene sa Hevisajdovom funkcijom.
ID | Funkcija | Vremenski domen |
Laplasov s-domen (frekventni domen) |
Oblast konvergencije za kauzalne sisteme | ||
---|---|---|---|---|---|---|
1 | idealno kašnjenje | |||||
1a | jedinični impuls | |||||
2 | zakašnjeni n-ti stepen sa frekvencijskim pomeranjem |
|||||
2a | n-ti stepen (za ceo broj n) |
|||||
2a.1 | q-ti stepen (za realno q) |
|||||
2a.2 | Hevisajdova funkcija | |||||
2b | zakašnjena Hevisajdova funkcija | |||||
2c | rampa funkcija | |||||
2d | frekvencijsko pomeranje n-tog reda | |||||
2d.1 | eksponencijalno opadanje | |||||
3 | eksponencijalno približavanje | |||||
4 | sinus | |||||
5 | kosinus | |||||
6 | sinus hiperbolikus | |||||
7 | kosinus hiperbolikus | |||||
8 | eksponencijalno opadajući sinus |
|||||
9 | eksponencijalno opadajući kosinus |
|||||
10 | n-ti koren | |||||
11 | prirodni logaritam | |||||
12 | Beselova funkcija prve vrste, reda n |
| ||||
13 | modifikovana Beselova funkcija prve vrste, reda n |
|||||
14 | Beselova funkcija druge vrste, nultog reda |
|||||
15 | modifikovana Beselova funkcija druge vrste, nultog reda |
|||||
16 | funkcija greške | |||||
Objašnjenja:
|
Inverzna Laplasova transformacija
urediU opšti slučaj, original f(t) date slike F(s) dobija se rešavanjem Bromvičovog integrala:
gde je realni deo bilo kog singulariteta funkcije .
S obzirom da se ovde integrali kompleksna promenljiva, potrebno je koristiti metode kompleksne matematičke analize. Mnogi primeri inverzne Laplasove transformacije navedeni su u tabeli iznad. U praksi, funkcije se transformišu u primere iz tablice, na primer razlaganjem na proste faktore.
Diskretna Laplasova transformacija
urediZa funkciju celobrojne promenljive njena diskretna Laplasova transformacija se definiše kao:
Konvergencija ovog reda zavisi od .
Sve osobine i teoreme regularne Laplasove transformacije imaju svoje ekvivalente u diskretnoj Laplasovoj transformaciji.
Primena
urediU matematici Laplasova transformacija se koristi za analiziranje linearnih, vremenski nepromenljivih sistema, kao: električnih kola, harmonijskih oscilatora, optičkih uređaja i mehaničkih sistema. Ima primene u rešavanju diferencijalnih jednačina i teoriji verovatnoće.
Literatura
uredi- Arendt, Wolfgang; Batty, Charles J.K.; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2002), Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhäuser Basel, ISBN 3-7643-6549-8.
- Bracewell, Ronald N. (1978), The Fourier Transform and its Applications (2nd izd.), McGraw-Hill Kogakusha, ISBN 0-07-007013-X
- Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd izd.), Boston: McGraw-Hill, ISBN 0-07-116043-4.
- Davies, Brian (2002), Integral transforms and their applications (Third izd.), New York: Springer, ISBN 0-387-95314-0.
- Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications. Vol. II., Second edition, New York: John Wiley & Sons, MR 0270403.
- Korn, G. A.; Korn, T. M. (1967), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (2nd izd.), McGraw-Hill Companies, ISBN 0-07-035370-0.
- Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998), Handbook of Integral Equations, Boca Raton: CRC Press, ISBN 0-8493-2876-4.
- Schwartz, Laurent (1952), „Transformation de Laplace des distributions” (French), Comm. Sém. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] 1952: 196–206, MR 0052555.
- Siebert, William McC. (1986), Circuits, Signals, and Systems, Cambridge, Massachusetts: MIT Press, ISBN 0-262-19229-2.
- Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press, MR 0005923.
- Widder, David Vernon (1945), „What is the Laplace transform?”, American Mathematical Monthly (The American Mathematical Monthly) 52 (8): 419–425, DOI:10.2307/2305640, ISSN 0002-9890, JSTOR 2305640, MR 0013447.
- Williams, J. (1973), Laplace Transforms, Problem Solvers, George Allen & Unwin, ISBN 0-04-512021-8
- Takacs, J. (1953), „Fourier amplitudok meghatarozasa operatorszamitassal” (Hungarian), Magyar Hiradastechnika IV (7–8): 93–96
- Deakin, M. A. B. (1981), „The development of the Laplace transform”, Archive for the History of the Exact Sciences 25 (4): 343–390, DOI:10.1007/BF01395660
- Deakin, M. A. B. (1982), „The development of the Laplace transform”, Archive for the History of the Exact Sciences 26 (4): 351–381, DOI:10.1007/BF00418754
- Euler, L. (1744), „De constructione aequationum”, Opera omnia, 1st series 22: 150–161.
- Euler, L. (1753), „Methodus aequationes differentiales”, Opera omnia, 1st series 22: 181–213.
- Euler, L. (1769), „Institutiones calculi integralis, Volume 2”, Opera omnia, 1st series 12, Chapters 3–5.
- Grattan-Guinness, I (1997), „Laplace's integral solutions to partial differential equations”, Gillispie, C. C., Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-01185-0.
- Lagrange, J. L. (1773), Mémoire sur l'utilité de la méthode, Œuvres de Lagrange, 2, pp. 171–234.
Vanjske veze
uredi- http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html
- http://www.mathe.braunling.de/Laplace.htm Arhivirano 2006-07-21 na Wayback Machine-u
- http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/aufgaben/L/laplace_transformation.html
- http://www3.htl-hl.ac.at/homepage/bok/dt/mathe/mindex.html Arhivirano 2016-03-04 na Wayback Machine-u
- http://www.seeit.de/xedu/formeln/Lars%20Weiser/laplace.pdf Arhivirano 2005-05-20 na Wayback Machine-u
- http://www-hm.ma.tum.de/archiv/mw4/ss05/folien/Laplace.pdf Arhivirano 2016-03-06 na Wayback Machine-u
- http://www.convertit.com/Go/ConvertIt/Reference/AMS55.ASP?Res=150&Page=1020