Laplasova transformacija

Laplasova transformacija (nazvana po Pjer-Simon Laplasu) je integralna transformacija, koja datu kauzalnu funkciju f(t) (original) preslikava iz vremenskog domena (t = vreme) u funkciju F(s) u kompleksnom spektralnom domenu. Laplasova transformacija, iako je dobila ime u njegovu čast, jer je ovu transformaciju koristio u svom radu o teoriji verovatnoće, transformaciju je zapravo otkrio Leonard Ojler, švajcarski matematičar iz osamnaestog veka.

Pojam originalaUredi

Funkcija t->f(t) naziva se originalom ako ispunjava sledeće uslove:

1. f je integrabilna na svakom konačnom intervalu t ose
2. za svako t<0, f(t)=0
3. postoje M i s0, tako da je  


Definicija Laplasove transformacijeUredi

 

Funkcija F(s) je »slika« ili laplasova transformacija »originala« f(t).

Za slučaj da je   dobija se jednostrana Furijeova transformacija:

 
 
 

OsobineUredi

LinearnostUredi

 

Teorema sličnostiUredi

Ako je  , tada je  , pri čemu je  

Diferenciranje originalaUredi

Ako je   i  , tada je  

Diferenciranje slikeUredi

Ako je  , tada je  , odnosno indukcijom se potvrđuje da važi  

Integracija originalaUredi

Ako je   i  , tada je  

Integracija slikeUredi

Ako postoji integral  , tada je  

Teorema pomeranjaUredi

 

Teorema kašnjenjaUredi

 

Laplasova transformacija konvolucije funkcijaUredi

 

Ova osobina je poznata kao Borelova teorema. Napomena: definicija konvolucije je:  

Laplasova transformacija periodičnih funkcijaUredi

Ako   ima osobinu  , tada važi  

DokazUredi

 
 
 
 

Odakle sledi:  

Tabela najčešće korišćenih Laplasovih transformacijaUredi

Jednostrana Laplasova transformacija ima smisla samo za ne-negativne vrednosti -{t}-, stoga su sve vremenske funkcije u tabeli pomožene sa Hevisajdovom funkcijom.

ID Funkcija Vremenski domen
 
Laplasov -{s}--domen
(frekventni domen)
 
Oblast konvergencije
za kauzalne sisteme
1 idealno kašnjenje    
1a jedinični impuls      
2 zakašnjeni -{n}--ti stepen
sa frekvencijskim pomeranjem
     
2a -{n}--ti stepen
(za ceo broj -{n}-)
     
2a.1 -{q}--ti stepen
(za realno -{q}-)
     
2a.2 Hevisajdova funkcija      
2b zakašnjena Hevisajdova funkcija      
2c rampa funkcija      
2d frekvencijsko pomeranje -{n}--tog reda      
2d.1 eksponencijalno opadanje      
3 eksponencijalno približavanje      
4 sinus      
5 kosinus      
6 sinus hiperbolikus      
7 kosinus hiperbolikus      
8 eksponencijalno opadajući
sinus
     
9 eksponencijalno opadajući
kosinus
     
10 -{n}--ti koren      
11 prirodni logaritam      
12 Beselova funkcija
prve vrste,
reda -{n}-
     
 
13 modifikovana Beselova funkcija
prve vrste,
reda -{n}-
     
14 Beselova funkcija
druge vrste,
nultog reda
     
15 modifikovana Beselova funkcija
druge vrste,
nultog reda
     
16 funkcija greške      
Objašnjenja:

  •  , je realan broj koji obično predstavlja vreme,
    iako može da se odnosi na bilo koju dimenziju.
  •   je kompleksna ugaona frekvencija, a   je njen realni deo.
  •  ,  ,  , and   su realni brojevi.
  •  , je ceo broj.

Inverzna Laplasova transformacijaUredi

U opštem slučaju, original f(t) date slike F(s) dobija se rešavanjem Bromvičovog integrala:

 

gde je   realni deo bilo kog singulariteta funkcije  .

S obzirom da se ovde integrali kompleksna promenljiva, potrebno je koristiti metode kompleksne matematičke analize. Mnogi primeri inverzne Laplasove transformacije navedeni su u tabeli iznad. U praksi, funkcije se transformišu u primere iz tablice, na primer razlaganjem na proste faktore.

Diskretna Laplasova transformacijaUredi

Za funkciju celobrojne promenljive   njena diskretna Laplasova transformacija se definiše kao:

 

Konvergencija ovog reda zavisi od  .

Sve osobine i teoreme regularne Laplasove transformacije imaju svoje ekvivalente u diskretnoj Laplasovoj transformaciji.

PrimenaUredi

U matematici Laplasova transformacija se koristi za analiziranje linearnih, vremenski nepromenljivih sistema, kao: električnih kola, harmonijskih oscilatora, optičkih uređaja i mehaničkih sistema. Ima primene u rešavanju diferencijalnih jednačina i teoriji verovatnoće.

LiteraturaUredi

  • Arendt, Wolfgang; Batty, Charles J.K.; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2002), Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhäuser Basel, ISBN 3-7643-6549-8 .
  • Bracewell, Ronald N. (1978), The Fourier Transform and its Applications (2nd izd.), McGraw-Hill Kogakusha, ISBN 0-07-007013-X 
  • Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd izd.), Boston: McGraw-Hill, ISBN 0-07-116043-4 .
  • Davies, Brian (2002), Integral transforms and their applications (Third izd.), New York: Springer, ISBN 0-387-95314-0 .
  • Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications. Vol. II., New York: John Wiley & Sons .
  • Korn, G. A.; Korn, T. M. (1967), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (2nd izd.), McGraw-Hill Companies, ISBN 0-07-035370-0 .
  • Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998), Handbook of Integral Equations, Boca Raton: CRC Press, ISBN 0-8493-2876-4 .
  • Schwartz, Laurent (1952), "Transformation de Laplace des distributions", Comm. Sém. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] 1952 .
  • Siebert, William McC. (1986), Circuits, Signals, and Systems, Cambridge, Massachusetts: MIT Press, ISBN 0-262-19229-2 .
  • Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform, Princeton University Press .
  • Widder, David Vernon (1945), "What is the Laplace transform?", American Mathematical Monthly (The American Mathematical Monthly) 52 (8), DOI:10.2307/2305640, ISSN 0002-9890 .
  • Williams, J. (1973), Laplace Transforms, George Allen & Unwin, ISBN 0-04-512021-8 
  • Takacs, J. (1953), "Fourier amplitudok meghatarozasa operatorszamitassal", Magyar Hiradastechnika IV (7–8) 
  • Deakin, M. A. B. (1981), "The development of the Laplace transform", Archive for the History of the Exact Sciences 25 (4), DOI:10.1007/BF01395660 
  • Deakin, M. A. B. (1982), "The development of the Laplace transform", Archive for the History of the Exact Sciences 26 (4), DOI:10.1007/BF00418754 
  • Euler, L. (1744), "De constructione aequationum", Opera omnia 22 .
  • Euler, L. (1753), "Methodus aequationes differentiales", Opera omnia 22 .
  • Euler, L. (1769), "Institutiones calculi integralis, Volume 2", Opera omnia 12 , Chapters 3–5.
  • Grattan-Guinness, I (1997), "Laplace's integral solutions to partial differential equations", Gillispie, C. C., Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-01185-0 .
  • Lagrange, J. L. (1773), Mémoire sur l'utilité de la méthode, 2 .

Vanjske vezeUredi