Inverz (matematika)

U matematici, pojam inverznog elementa predstavlja uopštenje pojmova negacije, u odnosu na sabiranje, i recipročnosti, u odnosu na množenje. Intuitivno, inverz može da poništi efekat kombinacije nekog elementa sa drugim datim elementom.

Formalna definicijaUredi

Neka je   skup sa binarnom operacijom  . Ako je   neutralni element za   i  , onda je   levi inverz od   a   je desni inverz od  . Ako je element   ujedno i levi i desni inverz od  , onda se   naziva dvostranim inverzom, ili prosto inverzom, od  . Element koji ima dvostrani inverz u   se naziva invertibilnim u  . Element koji ima inverz samo sa jedne strane je levo invertibilan, ili desno invertibilan.

Kao što je za   moguće da ima više levih identiteta ili više desnih identiteta, moguće je da element ima više levih inverza ili više desnih inverza (ali treba imati u vidu da njihova gornja definicija koristi dvostrani identitet,  ). Element može čak da ima više levih inverza i više desnih inverza.

Ako je operacija   asocijativna, onda ako element ima i levi i desni inverz, oni su jednaki i jedinstveni. U ovom slučaju, skup (levo i desno) invertibilnih elemenata je grupa koja se naziva grupom jedinica od  , u oznaci   ili  .

RačunanjeUredi

Svaki realan broj   ima aditivni inverz (inverz u odnosu na sabiranje) jednak  . Svaki realan broj različit od nule,   ima multiplikativni inverz (inverz u odnosu na množenje) jednak  . Nula nema multiplikativni inverz.

Funkcija   je levi (ili desni) inverz funkcije   (za kompoziciju funkcija), ako i samo ako je   (ili  ) funkcija identiteta na domenu (ili kodomenu) funkcije  .

Kvadratna matrica   sa elementima iz polja   je invertibilna (u skupu svih kvadratnih matrica iste dimenzije, u odnosu na množenje matrica) ako i samo ako je njena determinanta različita od nule. Ako je determinanta matrice   jednaka nuli, nemoguće je da ta matrica ima jednostrani inverz; stoga postojanje levog inverza implicira postojanje desnog (i obratno). Vidi invertibilna matrica za detaljniji opis.

Opštije, kvadratna matrica nad komutativnim prstenom   je invertibilna ako i samo ako je enjna determinanta invertibilna u  .

Nekvadratne matrice punog ranga imaju jednostrane inverze:[1]

  • Za   postoji levi inverz:  
  • Za   postoji desni inverz:  

Nijedna matrica koja nije punog ranga nema bilo kakav (ni jednostrani) inverz. Međutim, Mur-Penrouzov pseudoinverz postoji za sve matrice, i poklapa se sa levim ili desnim (ili dvostranim) inverzom ako on postoji.

PrimerUredi

 
Dakle, kako je  , postoji desni inverz.  
 
 

 

Levi inverz ne postoji, jer  , što je singularna matrica, koja ne može da se invertuje.


IzvoriUredi