Hiperbolična trigonometrija

Hiperbolična trigonometrija ima svoju ulogu u geometriji Lobačevskog. Koristi se za proučavanje otpornosti materijala, u elektrotehnici, statičkim proračunima visećih mostova u građevinarstvu i drugim granama nauke. U matematici se hiperbolične funkcije koriste, na primer, za rešavanje integrala gde se pojavljuje za razliku od oblika gde se koristi obična, tj. ravninska trigonometrija.

Hiperbolične funkcijeUredi

Hiperbolične funkcije je uveo u upotrebu italijanski matematičar Vinčenco Rikati (Vincenzo Riccati, 1707-1775). On je koristio oznake Sh. i Ch. za hiperbolni sinus i kosinus. Teoriju je dalje razvio Lambert (Johann Heinrich Lambert, 1728-1777. Histoire de l'académie Royale des sciences et des belles-lettres de Berlin, tom. XXIV, str. 327 (1768)), negde oko 1771, upotrebljavajući sinh i cosh. Kod nas se za hiperbolne funkcije koriste oznake sh x, ch x, th x, cth x, sech x, cosech x, ali ovde sledimo skraćenice koje podržava Vikipedijin softver, tj. Lateh, a to su uobičajene anglosaksonske oznake.

Definicija hiperboličnih funkcijaUredi

Sinus hiperbolični, kosinus hiperbolični i tangens hiperbolični određeni su formulama:

 
 
 

Kotangens hiperbolični, sekans hiperbolični i kosekans hiperbolični su recipročne vrednosti:

 
 
 

Geometrijsko određivanje hiperboličnih funkcija analogno je određivanju trigonometrijskih funkcija sinus, kosinus, tangens (v. ravninska trigonometrija).

Geometrijsko određivanjeUredi

U trigonometrijskom krugu definisane su funkcije   kao odsečci BC, OB, AD (poluprečnik r=1), a ugao α je centralni ugao AOC. Isti ugao smo mogli definisati i kao površinu Pk dvostrukog kružnog isečka COK (sl.6. šrafirano).

Naime, kada je ugao AOC, tj. α u radijanima, tada dvostruki centralni isečak COK ima površinu   Uzimajući analognu funkciju površine, ali ne za kružnicu   nego za istostranu hiperbolu   i označavajući sa   površinu analognog sektora COK (šrafirano na sl.7.), definišemo hiperbolne funkcije: sh x = BC, ch x = OB, th x = AB, odnosno istim redom sinh x, cosh x, tanh x, tj. sinus, kosinus i tangens hiperbolni.

Kada površinu h izračunamo (v. određeni integral) dobijamo izraze za BC, OB, AD:

 

dakle za hiperbolne funkcije dobijamo prethodno navedene izraze u eksponencijalnom obliku:

 
 
 

Trigonometrijske vezeUredi

 
 
 
 

Svaka formula koja povezuje hiperbolične funkcije argumenta h ili ah, ali ne ax+b, može se dobiti iz odgovarajuće formule koja povezuje obične trigonometrijske funkcije ugla z zamenom   sa   i zamenom   sa   Na primer:

  prelazi u  
  prelazi u  

Osnovne formuleUredi

Za hiperbolne funkcije vrede formule analogne formulama za funkcije obične trigonometrije.

Funkcije jednog argumentaUredi

 
 
 

Međusobno izražavanjeUredi

 
 
 
 

Zbir i razlika argumenataUredi

 
 
 

Funkcije dvostrukog argumentaUredi

 
 

Moavrova hiperbolična formulaUredi

 

Funkcije polovine argumentaUredi

  + za x>0, - za x<0,
 
 

Zbir i razlika funkcijaUredi

 
 
 
 

Inverzne (Area) funkcijeUredi

Nazivi area-sinus, area-kosinus, area-tangens i area-kotangens potiču od reči area (površina) jer area-funkcije možemo predstaviti površinom hiperboličnog sektora. One su inverzne funkcijama sinus hiperbolni, kosinus hiperbolni, tangens hiperbolni i kotangens hiperbolni, tj. ako je   tada je   itd:

  area-sinus, ako je  
  area-kosinus, ako je  
  area-tangens, ako je  
  area-kotangens, ako je  

Izražavanje logaritmimaUredi

 
 
 
 

Međusobno izražavanje inverznihUredi

 
 
 
 

Uz indeks * ide predznak + za h pozitivno, - za h negativno.

Odnosi među inverznimUredi

 
 
 

PovezanoUredi