Fibonaccijevi polinomi

U matematici, Fibonaccijevi polinomi su polinomski niz koji se može smatrati kao generalizacija Finonaccijevih brojeva.

Definicija

Ovi polinomi su definisani sa relacijom ponavljanja:

$F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{ako je}}n=0\\1,&{\mbox{ako je }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{ako je }}n\geq 2\end{cases}}$

Osobine

Prvih par Fibonačijevih polinoma su:

$F_{1}(x)=1\,$

$F_{2}(x)=x\,$

$F_{3}(x)=x^{2}+1\,$

$F_{4}(x)=x^{3}+2x\,$

$F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,$

$F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,$

Fibonačijevi brojevi se dobijaju izračunavanjem vrijednosti polinoma u x = 1. Stepen od F_n je n-1. Obična generativna funkcija za niz glasi

$\sum _{m=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}.$

Lucasovi polinomi

Odgovarajući Lucasovi polinomi L_n(x) ima slične veze sa Lucasovim brojevima. Oni zadovoljavaju istu relaciju ponavljanja, sa različitim početnim vrijednostima:

$L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{ako je }}n=0\\x,&{\mbox{ako je }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{ako je }}n\geq 2\end{cases}}$

Prvih par Lucasovih polinoma su:

$L_{1}(x)=x\,$

$L_{2}(x)=x^{2}+2\,$

$L_{3}(x)=x^{3}+3x\,$

$L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,$

$L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,$

$L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2\,$

Lucasovi brojevi dobijaju se izračunavanjem polinoma u x = 1. Stepen od L_n je n. Obična generativna funkcija za niz glasi

$\sum _{m=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.$

Reference

• Hoggatt, V.E., jun.; Bicknell, Marjorie (1973). „Roots of Fibonacci polynomials.”. Fibonacci Quarterly 11: 271-274. ISSN 0015-0517. 
• Ricci, Paolo Emilio (1995). „Generalized Lucas polynomials and Fibonacci polynomials”. Riv. Mat. Univ. Parma, V. Ser. 4: 137-146. 

Vanjski linkovi

• Weisstein, Eric W., "Fibonaccijevi polinomi", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Fibonaccijevi polinomi", MathWorld.