Fibonačijev niz

Fibonačijev niz je matematički niz primećen u mnogim fizičkim, hemijskim i biološkim pojavama. Ime je dobio po italijanskom matematičaru Fibonačiju. Predstavlja niz brojeva u kome zbir prethodna dva broja u nizu daju vrednost narednog člana niza. Indeksiranje članova ovog niza počinje od nule a prva dva člana su mu 0 i 1.

Popločanje s kvadratima čije su stranice po dužini sukcesivni Fibonaccijevi brojevi

To jest, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Prvi Fibonaccijevi brojevi, također označeni kao Fn, za n = 0, 1, … , su:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F1 = 1, ali uobičajenije je uključiti F0 = 0.

Fibonačijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.[1][2]

Ako znamo Fibonačijeve brojeve i onda možemo naći broj po formuli

Također imamo

Uopšteno

Fibonačijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonači, iako su ranije opisani u Indiji.[3][4]

Odnos prema zlatnom odnosuUredi

U teoriji brojeva veliku ulogu igra broj   koji je korjen jednačine   i

 

Iz Binetove formule

 

Gdje je

 
 

Dalje imamo

 

i

 

Za sve vrijednosti a , b definišimo niz

 

Zadovoljena je i relaciija

 

Neka su   i   izabrani tako da je   i  onda dobijeni niz mora biti Fibonaccijev niz.

Brojevi   i   zafovoljavaju relaciju

 

 

Odnosno imamo

 

Uzimajući   i   kao početne varijable imamo

 

Odnosno

 
 .

Posmatrajmo sada

 

Za  , broj   najbliži cio broj je  , koji se može dobiti iz funkcije

 

ili

 

Slično ako je F>0 Fiboničijev broj onda možemo odrediti njegov indeks unutar niza.

 

gdje se   može izračunati korištenjem logaritma druge baze

Primjer

 

OsobineUredi

Najveći zajednički djelitelj dva Fibonačijeva broja je broj čiji je indeks jednak najvećem zajedničkom delitelju njihovih indeksa

Posljedice

  je djeljiv sa   ako i samo ako je   djeljivo sa  ( bez  )

  •   je djeljivo sa   samo ako je  
  •   je djeljivo sa   samo ako je  
  •   je djeljivo sa   samo ako je  

  je prost ako je   prost broj sa isključenjem  

 

Obratno ne važi tj ako je   prost broj   ne mora biti prost

 

Njegov polinom   ima korjene   i  

 

U nizu Fibonačijevih brojeva kvadrati ≤10^100 su Fibonačijevi brojevi sa indeksima 0, 1, 2, 12:  ,  ,  ,  .

Generirajuća funkcija niza fibonaccijevih brojeva je  

Fibonnačijev niz brojevaUredi

Prvih 21 Fibonačijevih brojeva   za  [5]

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

Ovaj niz brojeva može se proširiti i na negativne brojeve.

 
 

Niz brojeva   za  [6]

F−8 F−7 F−6 F−5 F−4 F−3 F−2 F−1 F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
−21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21


IdentitetiUredi

  •  
  •  
  •  
  •  
  •   (см. рис.)
  •  
  •  
  •  
  •  

Opšte formule

  •  
  •  
  •  
 , kao i  ,

gdje matrice imaju oblik  , i  je imaginarna jedinica.

  • Fibonačijeve brojeve možemo izraziti preko Chebyshevih polinoma
 
 

Za bilo koji  

 

Posljedica

 

Formula za ponovno dobijanje Fibonaccijevih brojeva je

 

Fibonnačijev niz u prirodiUredi

Fibonačijev niz se često povezuje i sa brojem fi (phi), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, 2, 3, 5, 8, te podijelimo li svaki slijedeći broj s njemu prethodnim, dobit ćemo uvijek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.

Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonačijem i prirodom:

  1. U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
  2. Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema slijedećem dobili bi broj fi.
  3. Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
  4. Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi.

Vidi jošUredi

ReferenceUredi

  1. Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]
  2. Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985
  3. Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]
  4. Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985
  5. The Fibonacci series: 03. april 2011.
  6. Negafibonacci Numbers and the Hyperbolic Plane

LiteraturaUredi

  • Ball, Keith M (2003). "8: Fibonacci's Rabbits Revisited". Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11321-0. .
  • Beck, Matthias; Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics, New York: Springer .
  • Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (3rd izd.), New Jersey: World Scientific .
  • Lemmermeyer, Franz (2000). Reciprocity Laws. New York: Springer. ISBN 978-3-540-66957-9. .
  • Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres, 1, Gauthier-Villars .
  • Pisano, Leonardo (2002) (hardback). Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of the Book of Calculation. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Sigler, Laurence E, trans. Springer. ISBN 978-0-387-95419-6. , 978-0-387-40737-1 (paperback).
  • Arakelяn, Grant (2014). Matematika i istoriя zolotogo sečeniя. Logos, 404 s. ISBN 978-5-98704-663-0.

Vanjske vezeUredi