Ermitovi polinomi

Ermiteovi polinomi predstavljaju ortogonalni niz polinoma. Imenovani su prema Šarlu Ermitu, koji ih je izučavao 1864. godine. Polinomi su od značaja u teoriji verovatnosti, kombinatorici i numeričkoj analizi. U fizici Hermiteovi polinomi predstavljaju svojstvena stanja kvantnoga harmoničkoga oscilatora.

DefinicijaUredi

Postoje dva standardna načina normalizacije Ermiteovih polinoma:

 

("probabilistički' Ermiteovi polinomi"), i

 

("fizikalni' Ermiteovi polinomi"). Te dve definicije nisu potpuno ekvivalentne, pa postoji transformacija između dve definicije:

 
 
Prvih šest probabilističkih Ermiteovih polinoma Hen(x).

Prvih jedanaest polinoma je:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prvih šest fizikalnih Ermiteovih polinoma Hn(x).

Prvih nekoliko fizikalnih Ermiteovih polinoma:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ermiteov polinom može da se predstavi i matricom:

 

OrtogonalnostUredi

Hn(x) i Hen(x) predstavljaju polinome ntoga-stepena za n = 0, 1, 2, 3, .... Ti polinomi su ortogobnalni u odnosu na težinsku funkciju (meru)

    (He)

ili

    (H)

tj. mi immo:

 

kada je m ≠ n. Dalje,

    (probabilistički)

ili

    (fizikalna).

Probabilistički polinomi su dakle ortogonalni u odnosu na standardnu normalnu funkciju gustine verovatnoće.

Rekurzivne relacijeUredi

Ermiteovi polinomi takođe zadovoljavaju sledeće rekurzije:

  (probabilistička)
  (fizikalna)

Ermiteovi polinomi predstavljaju Apelov niz, tj. oni zadovoljavaju sledeće jednačine

  (probabilistička)
  (fizikalna)


ili ekvivalentno,

  (probabilistička)
  (fizikalna)

Ermiteovi polinomi zadovoljavaju takođe sledeće rekurentne relacije:

  (probabilistička)
  (fizikalna)

Te poslednje relacije često se koriste da bi se pomoću početnih polinoma izračunali ostali.

Generirajuće funkcijeUredi

Ermiteovi polinomi mogu da se predstave i eksponencijalnom generirajućom funkcijom:

  (probabilistička)


  (fizikalna).

Eksplicitni izrazUredi

Fizikalni Ermiteovi polinomi mogu da se napišu eksplicitno kao:

 

za parne n i

 

za neparne n. Te dve jednačine mogu da se kombiniraju u jednu:

 

Ermiteova diferencijalna jednačinaUredi

Probabilistički Ermiteovi polinomi predstavljaju rešenje diferencijalne jednačine:

 

gde je λ konstanta, sa graničnim uslovom da u treba da bude polinom ograničen u beskonačnosti. Rešenje jednačine sa graničnim uslovom je u(x) = Hλ(x). Diferencijalna jednačina može i da se napiše u obliku:

 

Takva jednačina naziva se Ermiteova jednačina, iako se taj naziv koristi i za blisko povezanu jednačinu:

 

čija rešenja su fiziklani Ermiteovi polinomi.

Ermiteova funkcijaUredi

Ermiteove funkcije mogu da se definišu pomoću fizikalnih polinoma::

 

Pošto te funkcije sadrže kvadratni koren funkcije težine one su ortonormalne:

 

Ermiteove funkcije zadovoljavaju diferencijalnu jednačinu:

 

Ta jednačina ekvivalentna je Šredingerovoj jednačini za harmonijski oscilator u kvantnoj mehanici, tako da su te funkcije svojstvene funkcije.

 
Ermiteove funkcije 0 (crna), 1 (crvena), 2 (plava), 3 (žuta), 4 (zelena), and 5 (ljubičasta).

Ermiteove funkcije zadovoljavaju sledeće rekurzione relacije:

 

kao i

 

LiteraturaUredi

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0-486-61272-0