Elementi matematičke logike

Predmet matematičke logike je dokaz. Matematika je strogo deduktivna nauka. To znači da se u njoj stavovi izvode iz osnovnih stavova.

Konstante i promjenljive

1,3,kvadrat stranice 4 cm su konstante. One određuju određen objekat.

x, y, trougao su promjenljive (varijable). Pomoću konstanti i varijabli dobijamo sudove 2x.

Formule

Upotrebom relacijskih oznaka i sudova dobijamo formule 2<x. Za formule u kojima figurišu varijable moramo znati iz kog su skupa vrijednosti varijabli.

Npr: $x\leq y$ x,y iz Z

za x=1 i y=-3: $1\leq -3$ (n)

za x=5 i y=7: $5\leq 7$ (i)

i.....istinito

n....neistinito

Predikat ili otvoreni sud

Predikat ili otvoreni sud je formula u kojoj figurišu varijable i koja postaje sud istinit ili neistinit kada u njeg uvrstimo vrijednosti varijable iz skupa S na kom je data ta formula.

$2x\leq (x+1)$

$4\leq 3$ (n)

$2\leq 2$ (i)

$0\leq 1$ (i)

Vrijednosti varijabli za koje predikat postaje istinit sud nazivamo skupom njenih istinitosti

Definicija

Definicija (lat. definitus - određen, razgovetan, jasan) je određivanje jednog pojma po njegovim svojstvima Ona mora biti jasna i razgovjetna.

1. Definicija se izriče najbližim srodnim pojmom i pojedinačnim razlikama (prema drugim pojmovima koji takođe spadaju pod isti srodni pojam);
2. Važno je pravilo: - definicija ne smije biti odrična (ne treba određivati šta neki pojam nije nego šta jeste)

Definicija je ispravna samo onda kada ona sadrži osnovne pojmove ili pojmove koji su ranije definisani. U definiciji ne smije biti pojmova koji nisu osnovni ili nisu ranije definisani.

Definicija matematičkog pojma

Uvođenje matamatičkog pojma možemo izvesti na različita načine:

1. genetički - kad se ukazuje način obrazovanja datog pojma;
2. svođenjem datog pojma na pojmove koji su već poznati .
3. aksiomatski - kad se pojam određuje implicitno u aksiomama (na primer, Tačka, pravai ravan).

Primeri definicija matematičkog pojma:

1. Sferom (trodimenzionalnog Euklidovog prostora) se naziva površ koja nastaje obrtanjem kruga oko njegovog prečnika (ovo je genetička definicija. pojma sfere). Ali se sfera može definisati pomoću pojma geometrijskog mesta tačaka u prostoru ili analitički.
2. Logaritam broja $b>0$ za osnovu $a>0,a\not =1$ se može definisati kao rešenje eksponencijalne funkcije $a^{x}=b\,$, što se piše: $x=log_{a}b\,$, a može se definisati i kao neko neprekidno rešenje funkcionalne jednačine

$f(xy)=f(x)+f(y)\,$

Logički sudovi

Matematika svoje rezultate formuliše u logičke sudove (stavove) Pri izvođenju stavova moramo poći od početnih stavova. Ove stavove nazivamo aksiomi. Sudovi(iskazi) kojima se tačno i sažeto iskazuju rezultati proučavanja u jednoj matematičkoj nauci nazivaju se stavovi. U nekoj matematičkoj teoriji broj im je mali. Pri izboru aksioma bitno je i poželjno da su saglasni našem iskustvu.i da iskazuju jednostavnije činjenice. Dijele se na aksiome i teoreme Aksiomi su iskazi ćiju istinitost ne dokazujemo, već ih smatramo istinitim. Teoreme su izkazi čiju istinitost dokazujemo

Operacije sa sudovima

Negacija suda

Negacija sadrži samo jedan iskaz, ispred kojega stoji znak negacije:' . Označavamo je sa'P, Primjer:

P:Duži a i b su jednake

negacija ovog suda je'P:

Duži a i b nisu jednake

Konjukcija sudova

Konjukcija sudova sud koji dobijemo kada povežemo dva suda veznikom i(oznaka&).

Disjunkcija sudova

Disjunkcija sudova sud koji dobijemo kada povežemo dva suda veznikom ili(v). Označava se sa P v Q.

Implikacija sudova

Sud koji dobijemo kada dva suda spojimo znakom "→" (slijedi) naziva se implikacija. Označava se sa P → Q.

(duž a paralelna sa duži b) i (duž b paralelna sa duži c) "→"duž a paralelna sa duži c Ako u jednoj implikaciji zamjenimo mjesta predpostavke i zaključka,dobićemo novu implikaciju za koju kažemo da je konverzija (obrt) prve implikacije.

Ekvivalencija

Ako su tačne implikacije P → Q i Q →P dobija mo novi sud P ≡ Q koji nazivamo ekvivalencija.

Konverzija implikacije

Ako u jednoj implikaciji zamjenimo mjesta predpostavke i zaključka,dobićemo novu implikaciju za koju kažemo da je konverzija (obrt) prve implikacije.