Diskretna furijeova transformacija

Diskretna Furijeova transformacija ili DFT jeste Furijeova transformacija diskretnog i konačnog (ili periodičnog) signala. Diskretna Furijeova transformacija je time i specijalni oblik Z-transformacije kod koje se z nalazi na jediničnom krugu. Često se koristi pri obradi digitalnih signala, a najpoznatiji algoritam za to je brza furijeova transformacija (FFT, Fast Fourier Transformation, engl.).

Diskretna Furijeova transformacija može da posluži takođe za aproksimaciju (u određenim slučajevima i rekonstrukciju) funkcije koja odgovara signalu ili kao implementacija digitalnih filtera.

Putem inverzne Furijeove transformacije se iz Furijeovih koeficijenata sklapa izlazni signal, a povezivanjem DFT i inverzne DFT možemo da manipulišemo frekvencijama (nalazi primenu pri ekvilajzerima i filterima).

Definicija uredi

Uzmimo da je   komutativan, unitaran prsten, u kojem je broj   jedinica. Dalje, u   je   jedinični koren.

Za vektor   je diskretna furijeova transformacija   na sledeći način definisana:

  za  

A za  , inverzna furijeova transformacija je

  za  

DFT i IDFT u kompleksnom domenu uredi

U kompleksnom domenu koristimo  .

Onda je DFT za  :   za  ,

a IDFT za  :   za  

DFT i IDFT u realnom domenu uredi

Računica u realnom domenu je:

 

Ojlerov identitet glasi:  . Takođe važi   i  .

Stoga možemo još uprostiti izraz:

 


Što će reći,   nije realan, ali samo N nezavisnih vrednosti (umesto 2N).

Za IDFT možemo zaključiti sledeće: Ukoliko za   važi   za sve  , onda je IDFT realan vektor  .

Pomeranje i skaliranje u vremenu i frekvenciji uredi

Ako je signal periodičan, onda nije bitno da li transformišemo u opsegu   ili  . Indeksna promenljiva j treba da obuhvati N opseg, ali nije bitno gde on počinje odnosno gde se završava (ovo važi samo za slučaj da je signal periodičan, tj. da se vektor   periodično ponavlja). Prisetimo se: za   važi  . Onda  .

U praksi često želimo da razlika u indeksima bude istovremeno i razlika u vremenu ili razdaljini dva merenja

 ,   je perioda našeg merenja.

Često želimo i da koeficijentima dodelimo frekvenciju tako da su centrirane oko  

 ,   je negde u blizini  .

Uzmimo neku funkciju   kojoj dodeljujemo   tako da  .

DFT je onda  .

Iz toga sledi:

 

a IDFT je

 

Primeri uredi

Primer filtera uredi

Naš cilj je da izbacimo sve frekvencije koje su „tiše“ (tj. koje imaju amplitudu) od 1 V. Prvo pravimo tabelu:

  0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 1.4000
  12.5000 10.0995 7.6644 6.8554 9.7905 13.5000 11.7546 7.4815 8.2905 12.0636

Imamo 10 vrednosti na 1 sekundu, što će reći perioda našeg merenja je  , a frekvencija  . Stoga mi možemo da rekonstruišemo talas do 5 Hz. Ukoliko u našem originalnom signalu ima frekvencija viših od 5 Hz onda će naša rekonstrukcija imati grešku. Ali, kao i uvek u životu, čovek mora biti optimističan te ćemo mi pretpostaviti da nema viših frekvencija (to je uostalom i jedan od razloga zašto kompakt-disk ima frekvenciju od oko 41 kHz; ljudsko uho može da registruje tek do 20 kHz!).

Sledi izračunavanje  . Nas zanimaju samo vrednosti vezane za pozitivne indekse:

 
 
 
 

Sada imamo sve vrednosti i možemo da počnemo sa računanjem:

 
 


 

Izračunavanje ostalih koeficijenata ide analogno, te ćemo ih ovde samo navesti kao rezultate:

 
 

Imamo  , sada želimo da izbacimo sve previše „tihe“ tonove. Trebaju nam  :

 

  10 -0.35i 1.5 - 0i 0.25 - 0.3i 0 + 0i


Znamo da važi:  . Na taj način možemo da izračunamo   i  :

 
 

Ostale amplitude:

 
 
 
 

Iz   možemo da zaključimo da frekvencija od 4 Hz nema u našem signalu. Često je vrlo zgodno navesti sve amplitude u grafikonu. Amplituda   za neku frekvenciju   je  .

Sve   i   za koje važi   izbacujemo i na kraju dobijamo rekonstruisanu i obrađenu funkciju:

 

Sada možemo da ponovo da izračunamo   ili da se poslužimo IDFT i tako prerađen signal snimimo u memoriju.

Primer u C-u uredi

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <complex.h>

#define pi 3.14159265
#define N 1000
#define T 0.001
#define FREQ 25

double my_function (double t )
{
	 /* violina svira ton od 25 Hz */
	 double ugaona_brzina = 2 * pi * FREQ;
	 return 5 + 10 * cos(ugaona_brzina * t) + 15 * cos(2 * (ugaona_brzina * t) ) 
			+ 20 * sin (3 * (ugaona_brzina * t) );

}

complex double get_fourier_coef (double omega_n, double* t, double* f  )
{
	 complex double coeff = 0;

	int k = 0;

	for (k = 0; k < N; k ++ )
	{
		// f[k] == f(t[k] );
		coeff += cexp (- I * omega_n * t[k]) * f[ k] ;
	}
	return coeff;
}

int main()
{
	double t[N];
	double omega[N];
	double f[N];

	double a[N/2+1];
	double phi[N/2+1];
	int n = 0;

	complex double coeff[N];
	
	/* pripremi vektore t i f_t -> nas signal je f_t !*/
	t[0] = 0;
	f[0] = my_function (t[0] );
	omega[0] = 0;

	for (n = 1; n < N; n ++ )
	{
		omega[n] = 2 * pi * n / (N * T );
		t[n] = n * T;
		f[n] = my_function (t[n] );	
	}

 
	/* izracunavanje koeficijenata */
	for (n = 0; n < N/2+1; n ++ )
	{
		coeff[n] = get_fourier_coef (omega[n], t, f );
		if (cabs(coeff[n]) > 0.1 ){
			printf ("# Koeficijent %d:  %e * e^i*%e\n", n, cabs(coeff[n]), carg(coeff[n]) ); 
		}
	}
	
	

	/* krece inverzija: */		
	a[0] = cabs(coeff[0]) / N;
	phi[0] = 0;
	for (n = 1; n < N/2+1; n++ )
	{
		if (cabs(coeff[n]) > 0.1 )
		{
			// c = 1/2 (a + ib ), zato a = 2 * |c|, b == 0 
			a[n] = 2  * cabs(coeff[n]) / N; 

			if (abs (carg(coeff[n])) > 0.001 )
			{
				phi[n] = carg(coeff[n] );
			}
			 else 
			{
				phi[n] = 0;
			}
		} 
		else 
		{
			a[n] = 0;
			phi[n] = 0;
		}
	}


	/* predstavljanje rezultata: */
	printf ("Nasa rekonstrukcija:\n f (t) = %e", a[0] );
	for (n = 1; n < N/2+1; n++ )
	{

		if (a[n] )
		{
			if (phi[n] )
			{
				printf (" + %e * cos (%d * (2 * pi * t + %e) )", a[n], n, phi[n] );
			}
			else
			{
				printf ("+ %e * cos (%d * 2 * pi * t )", a[n], n );
			}
		}
	}
	printf ("\n" );
	

	return 0;
}

Literatura uredi

  • Brigham, E. Oran (1988). The fast Fourier transform and its applications. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-307505-2. 
  • Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, Buck, J. R. (1999). Discrete-time signal processing. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-754920-7. 
  • Smith, Steven W. (1999). „Chapter 8: The Discrete Fourier Transform”. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing (Second izd.). San Diego, Calif.: California Technical Publishing. ISBN 978-0-9660176-3-2. 
  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein (2001). „Chapter 30: Polynomials and the FFT”. Introduction to Algorithms (Second izd.). MIT Press and McGraw-Hill. str. 822-848. ISBN 978-0-262-03293-3.  esp. section 30.2: The DFT and FFT, pp. 830-838.
  • P. Duhamel, B. Piron, and J. M. Etcheto (1988). „On computing the inverse DFT”. IEEE Trans. Acoust., Speech and Sig. Processing 36 (2): 285-286. DOI:10.1109/29.1519. 
  • J. H. McClellan and T. W. Parks (1972). „Eigenvalues and eigenvectors of the discrete Fourier transformation”. IEEE Trans. Audio Electroacoust. 20 (1): 66-74. DOI:10.1109/TAU.1972.1162342. 
  • Bradley W. Dickinson and Kenneth Steiglitz (1982). „Eigenvectors and functions of the discrete Fourier transform”. IEEE Trans. Acoust., Speech and Sig. Processing 30 (1): 25-31. DOI:10.1109/TASSP.1982.1163843. 
  • F. A. Grünbaum (1982). „The eigenvectors of the discrete Fourier transform”. J. Math. Anal. Appl. 88 (2): 355-363. DOI:10.1016/0022-247X(82)90199-8. 
  • Natig M. Atakishiyev and Kurt Bernardo Wolf (1997). „Fractional Fourier-Kravchuk transform”. J. Opt. Soc. Am. A 14 (7): 1467-1477. DOI:10.1364/JOSAA.14.001467. 
  • C. Candan, M. A. Kutay and H. M.Ozaktas (2000). „The discrete fractional Fourier transform”. IEEE Trans. on Signal Processing 48 (5): 1329-1337. DOI:10.1109/78.839980. 
  • Magdy Tawfik Hanna, Nabila Philip Attalla Seif, and Waleed Abd El Maguid Ahmed (2004). „Hermite-Gaussian-like eigenvectors of the discrete Fourier transform matrix based on the singular-value decomposition of its orthogonal projection matrices”. IEEE Trans. Circ. Syst. I 51 (11): 2245-2254. DOI:10.1109/TCSI.2004.836850. 
  • Shamgar Gurevich and Ronny Hadani (2009). „On the diagonalization of the discrete Fourier transform”. Applied and Computational Harmonic Analysis 27 (1): 87-99. DOI:10.1016/j.acha.2008.11.003. preprint at. 
  • Shamgar Gurevich, Ronny Hadani, and Nir Sochen (2008). „The finite harmonic oscillator and its applications to sequences, communication and radar”. IEEE Transactions on Information Theory 54 (9): 4239-4253. DOI:10.1109/TIT.2008.926440. preprint at. 
  • Juan G. Vargas-Rubio and Balu Santhanam (2005). „On the multiangle centered discrete fractional Fourier transform”. IEEE Sig. Proc. Lett. 12 (4): 273-276. DOI:10.1109/LSP.2005.843762. 
  • James Cooley, P. Lewis, and P. Welch (1969). „The finite Fourier transform”. IEEE Trans. Audio Electroacoustics 17 (2): 77-85. DOI:10.1109/TAU.1969.1162036. 
  • F.N. Kong (2008). „Analytic Expressions of Two Discrete Hermite-Gaussian Signals”. IEEE Trans. Circuits and Systems –II: Express Briefs. 55 (1): 56-60. DOI:10.1109/TCSII.2007.909865. 

Vidi još uredi