Brocardove tačke u trouglu

Ime su dobile po francuskom matematičaru Henri Brocardu (1845 - 1922). U trouglu $ABC$ tačka P je prva Brokardova tačka ako važi da su uglovi između duži $AP$ , $BP$ i $CP$ i stranica $c$ , $a$ i $b$ redom, jednaki, tj.

$\measuredangle PAB=\measuredangle PBC=\measuredangle PCA=\omega$

Tačka P je prva Brokardova tačka u trouglu $ABC$ , a ugao $\omega$ Brokardov ugao trougla.

Postoji i druga Brokardova tačka $Q$ , trougla $ABC$ takva da su jednaki uglovi između duži $AQ$ , $BQ$ , $CQ$ i stranica $b$ , $c$ i $a$ redom, tj.

$\measuredangle QCB=\measuredangle QBA=\measuredangle QCA=\omega$

Teorema

Za svaki trougao postoje prva i druga Brokardova tačka.

Dokaz

Pretpostavimo da je T tačka takva da važi $\measuredangle TAB=\measuredangle TBC=X$ tada je

$\measuredangle TBA=\measuredangle B-X=>\measuredangle BTA=180-\measuredangle B$

Dobijamo da tačka T pripada geometrijskom mjestu tačaka, tj. ona je na luku pod kojim se duž $AB$ vidi pod istim uglom. Nacrtajmo cijelu kružnicu koja prolazi kroz tačke $A$ , $B$ , $T$ . To je $C_{c}$ . Na isti način nacrtajmo kružnicu $C_{a}$ . Izabereno tačku U tako da važi:

$\measuredangle UBC=\measuredangle UCA$

U presjeku ove dvije kružnice dobijamo prvu Brokardovu tačku, jer za presječnu tačku $P$ važi: $\measuredangle PAB=\measuredangle =PBC=\measuredangle PCA$

Drugu Brokardovu tačku nalazimo analogno

Za Brokardov ugao ω važi jednakost:

$cot\omega =cot\measuredangle A+cot\measuredangle B+cot\measuredangle C$

Dokaz

Obilježimo sa P Brokardovu tačku trougla $ABC$ . Iz sinusne teoreme dobijamo da važi:

${\frac {CP}{sin(A-\omega }}={\frac {AC}{sin(\measuredangle APC}}$ i

${\frac {CP}{sin\omega }}={\frac {BC}{sin\measuredangle BPC}}$

Iz ranije dokazanog

$\measuredangle APC=180-\measuredangle A$ i

$\measuredangle BPC=180-\measuredangle C$

Dijeljenjem prve jednačine sa drugom dobijamo da je

${\frac {sin\omega }{sin(A-\omega )}}={\frac {AC}{BC}}{\frac {sin\measuredangle C}{sin\measuredangle A}}=>$ $sin(A-\omega )={\frac {a}{b}}{\frac {sin\measuredangle A}{sin\measuredangle C}}$

Iz sinusne teoreme znamo da važi

${\frac {a}{b}}={\frac {sin\measuredangle A}{sin\measuredangle B}}=>sin(A-\omega )={\frac {(sin\measuredangle A)^{2}\omega }{sin\measuredangle B\measuredangle C}}$

$sin(A-\omega )=sin\measuredangle Acos\omega -cos\measuredangle asin\omega$

$sin\measuredangle Acos\omega -cos\measuredangle asin\omega ={\frac {(sin\measuredangle A)^{2}\omega }{sin\measuredangle B\measuredangle C}}$

Daljim sređivanjem dobijamo traženo tvrđenje.

Teorema

Važi: $cot\omega ={\frac {s^{2}+b^{2}+c^{2}}{4P}}$ gde je P površina trougla $ABC$ .

Trilinearne koordinate Brokarovih tačaka

$P{\begin{bmatrix}c/b:a/c:b/a\end{bmatrix}}$

$Q{\begin{bmatrix}b/c:c/a:a/b\end{bmatrix}}$

Neka je $ABCD$ tetivničetvorougao. Prave $AB$ i $CD$ se sijeku u tački E, prave $AD$ i $BC$ se sijeku u tački F a prave $AC$ i $BD$ u tački G. Dokazati da je centar opisane kružnice oko četvorougla $ABCD$ ortocentar trougla $EFG$ .