Brocardove tačke u trouglu

Brocard point.svg

Ime su dobile po francuskom matematičaru Henri Brocardu (1845 - 1922). U trouglu tačka P je prva Brokardova tačka ako važi da su uglovi između duži , i i stranica , i redom, jednaki, tj.

Tačka P je prva Brokardova tačka u trouglu , a ugao Brokardov ugao trougla.

Postoji i druga Brokardova tačka , trougla takva da su jednaki uglovi između duži , , i stranica , i redom, tj.

Teorema

Za svaki trougao postoje prva i druga Brokardova tačka.

Dokaz

Brocard1.png

Pretpostavimo da je T tačka takva da važi tada je

Dobijamo da tačka T pripada geometrijskom mjestu tačaka, tj. ona je na luku pod kojim se duž vidi pod istim uglom. Nacrtajmo cijelu kružnicu koja prolazi kroz tačke , , . To je . Na isti način nacrtajmo kružnicu . Izabereno tačku U tako da važi:

U presjeku ove dvije kružnice dobijamo prvu Brokardovu tačku, jer za presječnu tačku važi:

Drugu Brokardovu tačku nalazimo analogno

Za Brokardov ugao ω važi jednakost:

Dokaz

Obilježimo sa P Brokardovu tačku trougla . Iz sinusne teoreme dobijamo da važi:

i

Iz ranije dokazanog

i

Dijeljenjem prve jednačine sa drugom dobijamo da je

Iz sinusne teoreme znamo da važi

Daljim sređivanjem dobijamo traženo tvrđenje.

Teorema

Važi: gde je P površina trougla .

Trilinearne koordinate Brokarovih tačaka

Neka je tetivničetvorougao. Prave i se sijeku u tački E, prave i se sijeku u tački F a prave i u tački G. Dokazati da je centar opisane kružnice oko četvorougla ortocentar trougla .

Dokaz

Neka je četvorougao abcd upisan u jediničnu kružnicu. Prema teoremi o presjeku tetiva jedinične kružnice

[Teorema o presjeku tetiva jedinične kružnice

Presjek tetiva i jedninične kružnice je tačka

]

važe jednakosti:

Da bismo pokazali da je ortocentar trougla efg, dovoljno je pokazati da je i .

Zbog simetrije, dovoljno je dokazati

Konjugovanjem dobijamo

Upoređivanjem dobijenih jednakosti dobijamo traženu jednakost, a time je dokazana Brokardova teorema.

IzvorUredi

Značajne tačke i linije u trouglu