Biot–Savartov zakon

Bio—Savarov zakon ili Laplaceov zakon je fizički zakon sa primenom u elektromagnetizmu. Zakon opisuje magnetsko polje koje se uspostavlja oko konstantne gustine struje. U skorije vreme, zahvaljujući jednostavnoj analogiji između magnetostatike i dinamike fluida, zakon je našao primenu u proračunavanju brzine vazduha u aerodinamičkim sistemima. Zakon je dobio ime po Žan-Baptist Biotu i Feliks Savartu koji su otrkili ovu relaciju 1820, godine.

Elektromagnetizam
VFPt Solenoid correct2.svg
Ključne stavke
Elektricitet  Magnetizam
Elektrostatika
Magnetostatika
Elektrodinamika
Električna mreža
Kovarijantna formulacija
Ova kutijica: pogledaj  razgovor  uredi

Bio—Savarov zakon je temelj magnetostatike isto kao što je i Kulonov zakon u elektrostatici. Bio—Savarov zakon proizilazi iz Lorencovih transformacija električnog polja tačkastog naelektrisanja, koje rezultuju magnetskim poljem, i u potpunoj je saglasnosti sa Amperovim zakonom, isto kao što je i Kulonov zakon saglasan sa Gausovim zakonom.

Ako definišemo diferencijalni element struje

onda je odgovarajući diferencijalni element magnetskog polja

gde je

struja, merena u amperima
diferencijal vektora dužine kroz koji teče struja
jedinični vektor od elementa struje do tačke polja
rastojanje od elementa struje do tačke polja

JednačineUredi

Struje duž zatvorene kontureUredi

Bio—Savarov zakon se koristi za proračunavanje rezultantne jačine magnetnog polja B na poziciji r koje nastaje usled delovanja struje I (npr. u žici). Protok naelektrisanja se smatra konstantnim, ne akumulira se niti smanjuje u toku vremena. Zakon je fizički prikaz integrala duž linije koji se razmatra duž putanje C kojom prolazi struja. Jednačina je data u SI jedinicama.

 

gde je r vektor od elementa na delu žice do tačke gde se računa magnetno polje i   je ejdinični vektor od r. Koristeći jedinični vektor  , jednačina može da se zapiše u obliku:

 

gde je dl vektor čiji je intenzitet jednak dužini infinitezimalnog elementa žice, u smeru struje kroz žicu, i μ0 je magnetna permeabilnost. Podebljani simboli označavaju intenzitet vektora.

Integracija se uglavnom vrši po zatvorenoj konturi, pošto električna struja može da putuje samo kroz zatvorene konture. Beskonačno duga žica (koja se koristi u SI definiciji električne struje - Amper) je kontra primer. Da bi se upotrebila ova jednačina, tačka u prostoru gde se računa jačina magnetnog polja je izabrana slučajnim izborom. Zadržavajući položaj te tačke fiksnim, linijski integral duž putanje električne struje se računa kako bi se izračunalo ukupno magnetno polje u toj tački. Primena ovog zakona se implicitno oslanja na princip superpozicije za magnetna polja, tj. na činjenicu da je magnetno polje vektorski zbir polja koja su nastala usled prolaska struje kroz infinitezimalno male delove žice. Princip superpozicije važi za električna i magnetna polja zato što su ona rešenja za skup linearno diferencijalnih jednačina, kao što su Maksvelove jednačine, gde je struja jedan od osnovnih termina.

Električne struje kroz provodne zapremineUredi

Formulacija data iznad funkcioniše dobro kada struja može da se aproksimira kao struja koja prolazi kroz beskonačno tanku žicu. Ako struja prolazi kroz provodnik koji ima neku debljinu, odgovarajuća formulacija Bio—Savarovog zakona (u SI jedinicama) bi glasila:

 

ili ekvivalentno

 

gde je dV infihitezimalno mali element zapremine i J je vektor gustina struje u toj zapremini.

U ovom slučaju, integracija se vrši nad zapreminom provodnika.

Bio—Savarov zakon je osnovni zakon magnetostatike, koji ima sličnu ulogu kao Kulonov zakon u elektrostatici. Kada magnetostatika ne može da se primeni na rešavanje problema, Bio—Savarov zakon treba zameniti Jefimenkovim jednačinama.

Konstantna i uniformna strujaUredi

U specijalnom slučaju konstantne struje I, magnetno polje B jednako je

 

tj. struja može da izađe iz integrala.

Tačkasto naelektrisanje konstantne brzineUredi

U slučaju tačkastog naelektrisanja q koje se kreće konstantnom brzinom v, Maksvelove jednačine daju sledeće izraze za električno i magnetno polje.

 
 

gde je vektor koji je usmeren od trenutne pozicije čestice do tačke gde se meri magnetno polje, i θ je ugao između v i r

Kada je v2c2, električno i magnetno polje se mogu aproksimirati kao

 
 

Ove jednačine se zovu „Bio—Savarov zakon za tačkasto naelektrisanje“, jer su analogne standarnoj formi Bio—Savarovog zakona koja je ranije prikazana. Ove jednačine su prvi put dobijene 1888. godine od strane Olivera Hevasajda.

Primene zakona na magnetne odziveUredi

Bio—Savarov zakon može da se koristi za kalkulaciju magnetnih odziva čak i na atomskom ili molekularnom nivou, pod uslovom da je moguće izračunati gustinu struje iz kvantno mehaničkih jednačina ili teorije.

Primena u aerodinamiciUredi

 
Slika prikazuje brzinu ( ) indukovanu u tački P od strane elementa ( ) jačine  .

Bio—Savarov zakon se takođe koristi u teoriji aerodinamike, za izračunavanje brzina koje potiču od vrtloženja.

U aerodinamičkoj primeni, uloga brzine vrtloga(vorteksa) i struje je obrnuta u odnosu na primene u magnetici.

U Maksvelovom radu iz 1861. godine 'O fizičkim linijama sile', magnetno polje jačine H je direktno izjednačeno sa brzinom vorteksa (spinom), gde je B jačina vrtloženja. Maksvel je razmatrao magnetnu permeabilnost μ kao meru gustine vrtloženja. Odatle odnos,

  1. Magnetski indukovana struja
     
    je u osnovi rotirajuća analogija odnosu linearnih električnih struja,
  2. Električna struja konvekcije
     
    gde je ρ gustina naelektrisanja. B je posmatrano kao vrsta magnetskih struja vrtloga koji su poravnati po svojoj aksijalnoj ravni, a H je bila obimna brzina vrtloga.

Jednačina električnih struja može biti posmatrana kao konvektivna struja naelektrisanja koja uključuje linearno kretanje. Po analogiji, magnetna jednačina je induktivna struja koja uključuje spin. Ne postoji linearno kretanje u induktivnoj struji duž B vektora. Magnetno indukovana struja predstavlja linije sile. Tačnije, predstavlja linije zakona inverznog kvadrata sile.

U aerodinamici, indukovane struje vazduha formiraju kaleme oko ose vrtloga koje imaju ulogu električnih struja u magnetizmu. Ovo stavlja vazdušne struje u istu ulogu kao i magnetni vektor indukcije B u elektromagnetizmu.

U elektromagnetizmu, B linije formiraju prstene u obliku kalema oko električnih struja, dok u aerodinamici, vazdušne struje formiraju prstene u obliku kalema oko ose vrtloga.

Zato u elektromagnetizmu, vrtlog igra ulogu efekta, dok u aerodinamici, vrtlog ima ulogu uzroka. Ipak kada pogledamo linije B same za sebe, vidimo tačan aerodinamički scenario, tako da B predstavlja osu vrtloga i H predstavlja obimnu brzinu kao i u Maksvelovom radu iz 1861. godine.

U dve dimenzije, za vrtlog beskonačno velike dužine, indukovana brzina u tački je data sa

 

gde je Γ snaga vrtloga i r je razdaljina pod pravim uglom između tačke i linije vrtloga.

Ovo je granični slučaj formule za segmente vrtloga ograničene dužine:

 

gde su A i B uglovi između linije i dva kraja segmenta.

Bio—Savarov zakon, Amperov zakon i Gausov zakon elektromagnetizmaUredi

Magnetno polje B koje se dobija iz Bio—Savarovog zakona će uvek zadovoljiti Amperov i Gausov zakon magnetizma.

LiteraturaUredi

Vidi jošUredi