Bernulijeva jednačina
Bernulijeva jednačina ili Bernoullijeva jednadžba prikazuje odnos između brzine, tlaka i gustoće tekućine u kretanju. Ona kaže da je u slučaju stabilnog strujanja ne stišljive tekućine, bez trenja, ukupna energija tekućine jednaka duž svih prereza; porastom brzine tekućine pada njen statički tlak i obratno. Zbroj statičkog i dinamičkog tlaka u vodoravnom strujanju daje ukupan tlak koji je konstantan u svim prerezima. Drugim riječima Bernoullijeva jednadžba predstavlja zakon održanja energije koji nam u slučaju stacionarnog strujanja tekućine govori da Za vrijeme stacionarnog strujanja jedinica mase tekućine (njen diferencijalni dio) ima konstantnu energiju duž cijele strujne cijevi.
- Odnosno Bernouiiljeva jednadžba govori o konstantnosti:
- potencijalne energije ...
i - kinetičke energije ... .
Objašnjenje Bernoullieve jednadžbe
urediKroz cijevi različitog presjeka protječe tekućina (slika). Okomito na smjer strujanja postavljene su pijezometarske cjevčice (1) koje pokazuju veličinu statičkog tlaka mjerenog u pravcu okomito na smjer strujanja, kako bi se izbjegao utjecaj tlaka uslijed gibanja tekućine. Pitotove cijevčice sa savijenim uronjenim krajevima u smjeru strujanja (2) po zakonu o spojenim posudama imaju istu razinu kao i posuda (3). Pijezometarska i brzinska visina mogu se odrediti pomoću pijezometarske i Pitotove cijevi. Suma tih visina je konstantna i jednaka H bez obzira koju strujnu cijev promatramo.
Na užim mjestima statički tlak je manji, a na širim veći. U ravnomjernom strujanju tekućine kroz cijev brzina u užim dijelovima je veća iz čega proizlazi da je na mjestima manje brzine strujanja statički tlak veći, a na mjestima veće brzine statički tlak manji.
Osnovne i izvedene mjerne jedinice koje se koristi B. jednadžba
uredi- ρ – Gustoća -
- S - presjek predstavlja površinu poprečnog presjeka ili Ploština - .
- p - statički tlak - (Pa)
- v - brzina - (m/s)
- m – masa tekućine - (kg)
- R - mehanički rad - (W)
- V - volumen mase tekućine -
- Bernoullieva jednadžba koristi SI sustav jedinica.
- geodetska visina odnosno visina težišta poprečnog presjeka u odnosu na neku horizontalnu ravninu u
- pijezometarska ili tlačna visina odnosno visina pijezometarskog tlaka koju pokazuje visina stupca tekućine u pijezometarskoj cijevi u
- je brzinska visina u , a brzina predstavlja brzinu koju bi tijelo imalo kada bi bilo u slobodnom padu.
- Ukupan zbroj energija daje Bernoullijevu jednadžbu
Ulaskom u uži dio cijevi, presjeka i statičkog tlaka tekućina dobije veću brzinu . Masa tekućine m ima u širem dijelu cijevi kinetičku energiju:
- a kad uđe u uži dio kinetičku energiju:
Povećanje kinetičke energije posljedica je mehaničkog rada R koji je nastao radi razlike tlakova ( ) pri gibanju mase m tekućine iz šireg dijela cijevi u uži na putu ΔS:
- R = ( ) ΔS
- R= ( ) V , gdje je V volumen mase tekućine.
Taj je rad jednak povećanju kinetičke energije:
- ( ) V = -
Dijeljenjem gornje jednakosti s volumenom, znajući da je gustoća ρ = dobivamo Bernoullijevu jednađbu:
- + = + = + = konst.
Izrazi , + i + prikazuju tlak koji je nastao uslijed strujanja tekućine i zove se dinamički tlak.
Oblik Bernoullijeve jednadžbe za idealnu tekućinu
uredi- Osnovne pretpostavke pod kojim vrijedi ova jednadžba su:
- tekućina je idealna - nestlačiva tekućina, linija energije je konstantna duž presjeka
- Stacionarno strujanje
- predstavlja hidrodinamički tlak ili ukupnu specifičnu energiju u .
Izvod Bernoullieve jednadžbe preko zakona održanja količine gibanja
uredi- Bernoullijeva jednadžba je prvi puta izvedena 1738. godine primjenom zakona održanja količine gibanja.
Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ovaj izvod su:
- fiktivna cijev ili proračun za konačni element neke cijevi,
- Stacionarno strujanje ili postupno promjenjivo strujanje.
Izvod Bernoullieve jednadžbe preko Eulerovog integrala
uredi- Eulorove diferencijalne jednadžbe kretanja tekućine - implicitni oblik
... ... ...(1E)
... ... ...(2E)
... ... ...(3E)
- nema općeg rješenja jer imamo 4 nepoznanice. Rješenje je moguće samo ako definiramo pretpostavku koja će eliminirati nepoznanicu viška.
- Osnovna pretpostavka:
- imamo stacionarno strujanje
- matematičke transformacije - (1E) množimo s dx, (2E) množimo s dy, (3E) množimo s dz i sumiramo dobivene jednadžbe.
pa dobijemo jednadžbu:
možemo derivirati
dakle, sada imamo ovaj oblik jednadžbe
- ako imamo strujnu cijev u kojoj dijeluje samo gravitacija u normalnom koordinatnom sustavu. Možemo pojednostaviti ovako;
I konačno Eulerov integral koji predstavlja izvod bernoullieve jednadžbe:
Oblik Bernoullijeve jednadžbe za realnu tekućinu
uredi
- je dio specifične energije utrošen na svladavanje hidrodinamičkih otpora strujanju kapljevine. Izražava se u .
Coriolisov koeficijent
urediIli koeficijent kinetičke energije . On pokazuje odnos stvarne kinetičke energije mase fluida koji protječe poprečnim presjekom u jedinici vremena i kinetičke energije određene iz uvjeta da su brzine u svim točkama presjeka jednake (srednja brzina). Koeficijent kinetičke energije je bezdimenzionalna jedinica.
- Koeficijent kinetičke energije najčešće ima slijedeće vrijednosti:
- kod strujanja u cijevima
- kod strujanja u otvorenim vodotocima
- vrijednost možemo računati ovom formulom:
- postavlja se uvjet da je
Praktična primjena Bernoullieve jednadžbe
urediPrimjer cijevi pod tlakom
urediznamo: .
- gubitak tlaka predstavlja razliku pijezometarskih visina u presjecima (1) i (2). Za slučaj da je cijev horizontalna vrijedi:
Primjer za otvoreni vodotok
urediznamo: ako je strujanje jednoliko
- atmosferski tlak djeluje na površini vodotoka
- u pijezometrima se voda podiže do razine vode u vodotoku
- linija vodnog lica je pijezometarska linija
Primjer za Venturijev vodomjer
urediZaključak
uredigdje je statički tlak, dinamički tlak, a ukupni tlak, konstantan u cijelom horizontalnom cjevovodu bez obzira na presjek.
- Bernoullijev zakon ili Bernoullieva jednadžba služi za proračun brzine, tlaka ili gubitaka kod tečenja tekućine kroz otvorene i zatvorene vodotoke za idealnu i realnu tekućinu. Pošto se radi o tekućinama tj. fluidima Bernoullieva jednadžba služi kao temeljna postavka za objašnjavanje uzgona aeroprofila.