Arkus tangens

Arkus tangens
Osnovne osobine
Parnost	neparna
Domen	(-∞,∞)
Kodomen	(-π/2,π/2)
Specifične vrednosti
Nule	0
Vrednost u +∞	π/2
Vrednost u -∞	-π/2
Specifične osobine
Asimptote	y = ± π/2
Prevoji	(0,0)
Ulazak u nulu pod uglom	π/4

Arkus tangens je funkcija inverzna funkciji tangensa na intervalu njenog domena [-π/2,π/2]. Koristi se za određivanje veličine ugla kada je poznata vrednost njegovog tangensa. Može se definisati sledećom formulom:

$\operatorname {arctg} \;x=\tan ^{-1}x={\frac {i}{2}}\left(\log(1-ix)-\log(ix+1)\right)$

Formule

Slede neke od formula koje se vezuju za arkus tangens:

$\operatorname {arctg} \;x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcctg} \;x$ (pravilo komplementnih uglova)

$\operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} \;x\!$ (neparnost f-je)

$\operatorname {arctg} \;{\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} \;x=\operatorname {arcctg} \;x,\$ $x>0$

$\operatorname {arctg} \;{\frac {1}{x}}=-{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} \;x=-\pi +\operatorname {arcctg} \;x,\$ $x<0$

Preko formule za polovinu ugla se dobija i:

$\operatorname {arctg} \;x=2\operatorname {arctg} \;{\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

Izvod:

${\frac {d}{dx}}\operatorname {arctg} \;x{}={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Predstavljanje u formi integrala:

$\operatorname {arctg} \;x{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx$

Predstavljanje u formi beskonačne sume:

${\begin{aligned}\operatorname {arctg} x&{}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |x|\leq 1\qquad x\neq i,-i\end{aligned}}$

Vanjske veze

• Funkcija arctg na wolfram.com

Trigonometrijske i hiperbolične funkcije

Sinus Kosinus Tangens Kotangens Sekans Kosekans Funkcija sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x) sec(x) cosec(x) Inverzna arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) arcsec(x) arccosec(x) Hiperbolična sinh(x) cosh(x) tgh(x) ctgh(x) sech(x) cosech(x) Inv. hiperbolična arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)