Arkus kotangens

Arkus kotangens
Osnovne osobine
Parnost	neparna
Domen	(-∞,∞)
Kodomen	(-π/2,π/2)
Specifične vrednosti
Vrednost u +∞	0
Vrednost u -∞	0
Vrednost u 0+	π/2
Vrednost u 0-	-π/2
Specifične osobine
Asimptote	y = 0

Arkus kotangens je funkcija inverzna funkciji kotangensa na intervalu njenog domena [-π/2,π/2]. Koristi se za određivanje veličine ugla kada je poznata vrednost njegovog kotangensa. Može se definisati sledećom funkcijom:

$\operatorname {arcctg} \;x=\operatorname {ctg} ^{-1}x={\frac {i}{2}}\left(\log \left(1-{\frac {i}{x}}\right)-\log \left(1+{\frac {i}{x}}\right)\right)$

Pri čemu treba važiti da je x različito od nule.

Formule

Slede neke od formula koje se vezuju za arkus kotangens:

$\operatorname {arcctg} \;x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x$ (pravilo komplementnih uglova)

$\operatorname {arcctg} (-x)=\pi -\operatorname {arcctg} \;x\!$

$\operatorname {arcctg} \;{\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcctg} \;x=\arctan x,\$ $\ x>0$

$\operatorname {arcctg} \;{\frac {1}{x}}={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arcctg} \;x=\pi +\arctan x,\$ $\ x<0$

Izvod:

${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcctg} \;x{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}$

Predstavljanje u formi integrala:

$\operatorname {arcctg} \;x{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx$

Predstavljanje u formi beskonačne sume:

${\begin{aligned}\operatorname {arcctg} x&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan x\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |x|\leq 1\qquad x\neq i,-i\end{aligned}}$

Vanjske veze

• Funkcija arcctg na wolfram.com

Trigonometrijske i hiperbolične funkcije

Sinus Kosinus Tangens Kotangens Sekans Kosekans Funkcija sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x) sec(x) cosec(x) Inverzna arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) arcsec(x) arccosec(x) Hiperbolična sinh(x) cosh(x) tgh(x) ctgh(x) sech(x) cosech(x) Inv. hiperbolična arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)