Teorija kategorija

Teorija kategorija je grana matematike koja se bavi organiziranjem matematičkih struktura u tzv. kategorije i ispitivanjem matematičkih entiteta sa stanovišta teorije kategorija. Osnovali su je Saunders MacLane i Samuel Eilenberg u epohalnom radu 1944. godine. Osnovna filozofija je da se matematički objekti ne mjere sami po sebi, po svojem unutarnjem izgledu, nego odnosom prema svim sličnim objektima, s kojima zajedno čine neku prirodnu kategoriju. Ti odnosi među objektima opisuju se preko usmjerenih strelica, koje su neka vrsta apstraktnih preslikavanja među objektima, koji se nazivaju morfizmi. Morfizmi se mogu asocijativno komponirati kad god to ima smisla, tj. kad kodomena prvog preslikavanja odgovara domeni drugog.

Pokazalo se da je svojstvo matematičkih struktura koje je jednostavno opisati u terminima kategorija često inherentno važno. Tako je teorija kategorija vodič u nalaženju novih plodnih definicija u istraživanju matematičkih objekata. Također, te se definicije lakše prenose na druge slične kategorije objekata što dovodi do lakše i sustavnije interakcije raznih dijelova matematike.

Definicija kategorije uredi

Kategorija C sastoji se od

klase Ob(C) objekata:
klase Hom(C) (ili Mor(C)) morfizama, ili strelica, među objektima.
preslikavanja dom, koje svakom morfizmu f pridružuje njegovu domenu dom(f)
preslikavanja cod, koje svakom morfizmu f pridružuje njegovu kodomenu cod(f).
preslikavanja $\circ$ (komponiranje), koje svakom uređenom paru morfizama (f,g) takvom da vrijedi dom(g) = cod(f) pridružuje kompoziciju g o f čija domena je (po definiciji) dom(f), a kodomena je cod(g)
preslikavanja koje svakom objektu c pridružuje jedan morfizam koji se naziva identitet u c i označava s 1_c i čija domena i kodomena su jednaki c.

Ako je dom(f)=a i cod(f)= b tada se kaže da morfizam f ide iz (domene) a u (kodomenu) b i piše f : a → b. Pri tome se traži da je klasa svih morfizama (koji idu) iz a u b skup (ne samo klasa) koji se označava Hom(a,b), Hom_C(a,b), Mor_C(a,b) ili naprosto C(a,b).

Nadalje, traži se da kompozicija tri morfizma asocijativna kad god je definirana. Dakle, ako f : a → b, g : b → c i h : c → d tada h o (g o f) = (h o g) o f. Nadalje traži se da je kompozicija nekog morfizma f s bilo koje strane s identitom u nekom objektu c naprosto f, ukoliko je ta kompozicija definirana. Drugim riječima, ako je f : a → b morfizam, tada 1_b o f = f = f o 1_a.

Kategorija je mala ako su klase Ob(C)₀ i Mor(C)₀ zapravo skupovi.

Odnosi među morfizmima i tipovi morfizama uredi

Morfizam f:a → b je lijevi inverz morfizma g:b → a ako g o f = 1_a. Morfizam f:a → b je desni inverz morfizma g:b → a ako f o g = 1_b. Morfizam je invertibilan s lijeva (s desna) ako ima lijevi (desni) inverz. Ako morfizam ima i lijevi i desni inverz onda je lako pokazati (iz asocijativnosti i svojstva identitete) da su oni jednaki. Taj lijevi ili desni inverz se tada naziva jednostavno inverz, a morfizam invertibilan.

Morfizam je

izomorfizam ako je invertibilan
epimorfizam ukoliko $g\circ f=h\circ f$ za svaki $f$ implicira $g=h$ .
monomorfizam ako $f\circ g=f\circ h$ za svaki $f$ implicira $g=h$

U kategoriji Set u kojoj su objekti skupovi, morfizmi preslikavanja skupova, a kompozicija je obična kompozicija preslikavanja, monomorfizmi su upravo injekcije, a epimorfizmi su upravo surjekcije.

Suprotna kategorija uredi

Svakoj kategoriji $C$ možemo pridružiti suprotnu kategoriju $C^{\circ }$ koja ima iste objekte i morfizme, no morfizmi idu u suprotni smjer. Tako za svaki objekt $x$ imamo njegovu suprotnu kopiju $x^{\circ }$ , a za morfizam $f:x\to y$ njegov suprotnu kopiju $f^{\circ }:y^{\circ }\to x^{\circ }$ sa zamijenjenom domenom i kodomenom; pri tome je kompozicija definirana s $g^{\circ }\circ f^{\circ }:=(f\circ g)^{\circ }$ , a identitete s $1_{x^{\circ }}:=(1_{x})^{\circ }:x^{\circ }\to x^{\circ }$ . Suprotnu kategoriju nazivamo također dvojstvenom ili dualnom kategorijom kategorije $C$ .

Funktori i prirodne transformacije uredi

Za svake dvije kategorije, C i D, funktor F:C → D se sastoji od para preslikavanja, F₀:Ob(C) → Ob(D) i F₁:Mor(C) → Mor(D) zajedno s dva uvjeta kompatibilnosti; grubo rečeno, F₁ šalje identite u identitete, a kompozicije u kompozicije.

Za svaka dva funktora F₀, G₀:Ob(C) → Ob(D) tada možemo govoriti o prirodnoj transformaciji (danas se često kaže samo transformacija) η : F →G kao familiji morfizama η_x : F(x)→G(x) u D, indeksiranim s x u Ob(C), pri čemu se zahtijeva da za svaki morfizam f : a → b u C vrijedi tzv. uvjet prirodnosti: G(f) o η_a= η_b o F(f) : F(a)→G(b).

Uvjet prirodnosti zapravo je bio osnovna motivacija za uvođenje pojma kategorije, jer se često pojavljivao, a nije bilo jasno kakav opći kontekst izražava taj uvjet.

Nije teško poopćiti pojam funktora na funktor više varijabli. U slučaju dvije varijable ponekad kažemo bifunktor. Bifunktori s varijablama u kategorijama C i D i s vrijednostima u kategoriji E identificiramo s običnim funktorima iz kartezijevog produkta kategorija C x D u kategoriju E.

U starijoj literaturi funktori su se nazivali kovarijantnim funktorima, a uz njih je upotrebljavan i pojam kofunktora ili kontravarijantnog funktora. No, kontravarijantan funktor iz C u D je zapravo običan (kovarijantni) funktor iz suprotne kategorije $C^{\circ }$ u D.

Ekvivalencija kategorija uredi

Funktor F:C → D je ekvivalencija kategorija ako postoji funktor G:D → C takav da je G o F prirodno izomorfno identičnom funktoru Id_C, a F o G prirodno izomorfno identičnom funktoru Id_D. U toj situaciji kažemo da je G slabi inverz (ponekad kažemo i kvaziinverz) od F. Antiekvivalencija kategorija je kontravarijantni funktor koji je ekvivalencija, tj. običan funktor sa suprotne kategorije $C^{\circ }$ u D koji je ekvivalencija.

Monoidalne kategorije uredi

Striktna monoidalna kategorija je kategorija C opremljena monoidalnim produktom, koji je po definiciji (bi)funktor $\otimes :C\times C\to C$ koji je asocijativan i jediničnim objektom, tj. objektom u $C$ koji je jedinica s obzirom na taj produkt. Većina primjera u matematici vodi, međutim, na monoidalne produkte koji nisu striltno asocijativni, nego su asocijativni do na tzv. koherentni izomorfizam. Takve nestriktne monoidalne kategorije uveo je Saunders MacLane koji je dokazao i fundamentalni teorem o strukturi kompozicija više koherentnih izomorfizama, naime svake dvije kompozicije s istom domenom i kodomenom su jednake.

Više kategorije uredi

Postoji kategorija kategorija Cat, čiji su objekti (male) kategorije a morfizmi su funktori među kategorijama. Ta se kategorija može proširiti, može se govoriti o morfizmima među morfizmima, a to su prirodne transformacije, tako da Cat(C,D) nije samo skup morfizama nego zapravo kategorija. Tako se dolazi do primjera tzv. striktne 2-kategorije. Pri tome možemo svaki skup nazvati 0-kategorijom, a običnu kategoriju 1-kategorijom. Jean Benabou je uveo u razmatranje pojam bikategorije ili slabe 2-kategorije, čija asocijativnost kompozicije je oslabljena koherentnim izomorfizmima koji su po Benabouovoj definiciji dio njihove strukture. Bikategorije sa samo jednim objektom u prirodnoj su bijekciji s monoidalnim kategorijama; time teorija bikategorija efektivno poopćuje teoriju monoidalnih kategorija.

Alexandre Grothendieck uveo je pojam ekvivalencije kategorija, koja je pojam slabiji od izomorfizma kategorija i koji je prirodniji za 2-kategorije, pa tako i za 2-kategoriju Cat kategorija. Zapravo pokazuje se da se tako može nastaviti i doći do sve oslabljenijih tipova "jednakosti". Počevši od jednakosti unutar skupa, preko izomorfizama na nivou objekata unutar kategorije, pa ekvivalencije objekata u 2-kategoriji, do 2-ekvivalencije u 3-kategoriji i tako dalje. To podsjeća na pojam homotopije u algebarskoj topologiji. Naime, homotopija se može gledati kao morfizam među neprekidnim preslikavanjima. No može se gledati i homotopija među homotopijama i tako dalje, uvodeći više homotopije. To vodi području koje je između teorije kategorija i apstraktne teorije homotopija, a to je teorija viših kategorija. Pri tome je teorija striktnih viših kategorija mnogo jednostavnija od onih važnijih, slabih, u kojima je asocijativnost kompozicija (kojih ima više u višim kategorijama) do na koherencije, koje opet imaju svoje koherencije i tako dalje, što jako usložnjava njihovu definiciju i proučavanje. No slabe više kategorije su važne jer većina važnih primjera viših kategorija vodi na njih, a ne na jednostavnije, slabe, kategorije.

U matematičkim istraživanjima, razvoj teorije viših kategorija je upravo sada u punom zamahu. Jedna od teškoća te teorije je postojanja više pristupa (formalizama) koji se tehnički dosta razlikuju i do nedavno je bilo vrlo nejasno koliko su sami ti pristupi međusobno ekvivalentni. Sada se ta pitanja znatno bolje razumiju nego prije desetak godina i teorija viših kategorija se sve više primjenjuje, i u teorijskoj fizici. Glavne ideje u teoriji viših kategorija razvili su Alexandre Grothendieck, André Joyal, Ross Street, Carlos Simpson, Tom Leinster, Michael Batanin (Mihajl Batanjin), John Baez, Bertrand Toen, Maxim Kontsevich i Jacob Lurie. Na neke od pristupa izrazito je uticala teorija modelnih kategorija (za apstraktnu teoriju homotopija) Davida Quillena, te simplicijalne metode iz algebarske topologije.

Uz više kategorije promatra se i niz drugih poopćenja koja podsjećaju strukturom i formalizmom na više kategorije, npr. viši operadi.