Parnost funkcije

U matematici, parne funkcije i neparne funkcije su matematičke funkcije koje zadovoljavaju određene relacije simetričnosti. Važne su u metematičkoj analizi, posebni u teoriji stepenih redova i Furijeovih redova. Nazvane su po parnosti stepena njihovih stepenih redova koji zadovoljavaju svaki od uslova: funkcija xⁿ je parna funkcija ako je n paran ceo broj, a neparna je funkcija ako je n neparan ceo broj.

Parne funkcije

$f(x)=x^{2},$ primer parne funkcije

Neka je f(x) realna funkcija realne promenljive. Onda je f parna funkcija ako sledeće jednačine važe za svako x u domenu funkcije f:

$f(x)=f(-x)\,$.

Geometrijski, parna funkcija je simetrična u odnosu na y osu, što znači da grafik funkcije ostaje nepromenjen posle refleksije oko y ose.

Primeri parnih funkcija su apsolutna vrednost, x², x⁴, cos(x), i cosh(x).

Neparne funkcije

$f(x)=x^{3},$ primer neparne funkcije

Ponovo, neka je f(x) realna funkcija realne promenljive. Onda je f neparna funkcija ako sledeće jednačine važe za svako x u domenu funkcije f:

$-f(x)=f(-x)\,$.

Geometrijski, neparna funkcija je simetrična u odnosu na koordinatni početak, što znači da grafik funkcije ostaje nepromenjen posle koordinatne rotacije za 180 stepeni oko koordinatnog početka.

Primeri neparnih funkcija su x, x³, sin(x), i erf (x).

Neke činjenice

$f(x)=x^{3}+1$ nije ni parna ni neparna funkcija

Napomena: parnost funkcije ne implicira diferencijabilnost, niti čak neprekidnost funkcije. Svojstva koja uključuju Furijeove redove, Tejlorove redove, izvode itd. mogu se koristiti samo ako se pretpostavi da oni postoje.

Osnovna svojstva

• Jedina funkcija koja je u isto vreme i parna i neparna je konstantna funkcija jednaka nuli (tj. f(x) = 0 za svako x).
• Zbir parne i neparne funkcije nije ni parna ni neparna funkcija, osim ako jedna od te dve funkcije nije jednaka nuli.
• Zbir dve parne funkcije je parna funkcija, i rezultat svakog množenja parne funkcije konstantom je takođe parna funkcija.
• Zbir dve neparne funkcije je takođe neparna funkcija, i rezultat svakog množenja neparne funkcije konstantom je neparna funkcija.
• Proizvod dve parne funkcije je parna funkcija.
• Proizvod dve neparne funkcije je parna funkcija.
• Proizvod parne i neparne funkcije je neparna funkcija.
• Količnik deljenja dve parne funkcije je parna funkcija.
• Količnik deljenja dve neparne funkcije je parna funkcija.
• Količnik deljenja parne funkcije i neparne funkcije je neparna funkcija.
• Izvod parne funkcije je neparna funkcija.
• Izvod neparne funkcije je parna funkcija.
• Kompozicija dve parne funkcije je parna, a kompozicija dve neparne funkcije je neparna funkcija.
• Kompozicija parne i neparne funkcije je parna funkcija.
• Kompozicija bilo koje funkcije sa parnom funkcijom je parna funkcija (ali ne važi obratno).
• Integral neparne funkcije od -A do +A je nula (gde je A konačno, a funkcija nema vertikalnih asimptota između -A i A).
• Integral parne funkcije od -A do +A je dvostruko veći od integrala od 0 do +A (gde je A konačno, a funkcija nema vertikalnih asimptota između -A i A).

Redovi

• Meklorenov red parne funkcije uključuje samo parne stepene.
• Meklorenov red neparne funkcije uključuje samo neparne stepene.
• Furijeov red periodične parne funkcije uključuje samo kosinusne članove.
• Furijeov red periodične neparne funkcije uključuje samo sinusne članove.

Algebarske strukture

• Svaka linearna kombinacija parnih funkcija je takođe parna funkcija, i parne funkcije formiraju vektorski prostor nad realnim brojevima. Isto tako, linearna kombinacija neparnih funkcija formira vektorski prostor nad realnim brojevima. U stvari, vektorski prostor svih realnih funkcija je direktna suma linearnih podprostora parnih i neparnih funkcija. Drugim rečima, svaka funkcija se može jedinstveno napisati kao suma parne i neparne funkcije:

$f(x)=f_{\mathrm {even} }(x)+f_{\mathrm {odd} }(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}\,+\,{\frac {f(x)-f(-x)}{2}}\,$

• Parne funkcije formiraju K-algebru nad realnim brojevima. S druge strane, neparne funkcije ne formiraju K-algebru nad realnim brojevima.

Vidi još

• Hermitijan funkcija za generalizaciju nad kompleksnim brojevima
• Tejlorov red
• Furijeov red