Lagrangeova teorema (teorija grupa)
Ukoliko ste tražili Lagranžovu teoremu srednje vrednosti, vidite članak Lagranžova teorema.U teoriji grupa, grani matematike, Lagranžova teorema glasi da za svaku konačnu grupu G, red (broj elemenata) svake podgrupe H od G deli red grupe G.
Ovo se može pokazati korišćenjem koncepta levih koseta od H u G. Levi koseti su klase ekvivalencije određene relacije ekvivalencije na G i stoga čine particiju G. Ako možemo da pokažemo da svi koseti od H imaju isti broj elemenata, onda je dokaz završen, jer je samo H koset od H. Sada, ako su aH i bH dva leva koseta od H, možemo da definišemo preslikavanje f : aH → bH kao f(x) = ba-1x. Ovo preslikavanje je bijekcija, jer je njen inverz f -1(y) = ab-1y.
Ovaj dokaz takođe pokazuje da je količnik redova |G| / |H| jednak indeksu [G:H] (broj levih koseta od H u G). Ako zapišemo ovo tvrđenje kao
- |G| = [G:H] · |H|,
zatim ga interpretiramo kao iskaz o kardinalnim brojevima, on ostaje tačan, čak i za beskonačne grupe G i H.
Posledica ove teoreme je da je red bilo kog elementa a konačne grupe (tj. najmanji pozitivan ceo broj k takav da ak = e) deli red te grupe, jer je red od a jednak redu ciklične podgrupe generisane sa a. Ako grupa ima n elemenata sledi
- an = e.
Ovo se može koristiti u dokazu Male Fermaove teoreme i njene generalizacije, Ojlerove teoreme.
Obratno ne važi u opštem slučaju: ako je data konačna grupa G i delilac d od |G|, ne mora obavezno da postoji podgrupa od G reda d. Najmanji primer je alternirajuća grupa G = A4 koja ima 12 elemenata, ali nema podgrupu reda 6. Međutim, ako je G Abelova grupa, tada uvek postoji podgrupa reda d.