Homomorfizam

Homomorfizam (od grč. homós - isti, grč. morphe - oblik, forma) u matematici predstavlja preslikavanje između dve algebarske strukture istog tipa, koje čuva njihovu formu.

Osobine

Neka su $(M,\cdot )$ i $(K,\times )$ dve algebarske strukture istog tipa (grupa, polje, monoid itd.). Ako je preslikavanje $f:M\rightarrow K$ homomorfizam a $a,b\in M$ važiće:

$f(a\cdot b)=f(a)\times f(b)$

Vrste homomorfizama

• Izomorfizam je bijektivni homomorfizam. Dva objekta su izomorfna ako postoji izomorfizam između njih. Izomorfni objekti su potpuno nerazaznatljivi što se tiče strukture koja je u pitanju.
• Epimorfizam je surjektivni homomorfizam.
• Monomorfizam je injektivni homomorfizam.
• Homomorfizam sa nekog objekta na samog sebe se zove endomorfizam.
• Endomorfizam koji je i izomorfizam se zove automorfizam.

U širem kontekstu preslikavanja koja čuvaju strukturu, načelno nije dovoljno definisati izomorfizam kao bijektivni morfizam. Potreban uslov je i da je inverzni morfizam istog tipa. U algebarskim uslovima, ovaj dodatni uslov je automatski zadovoljen.

Odnosi između različitih vrsta homomorfizama.
H = skup homomorfizama, M = skup monomorfizama,
P = skup epimorfizama, S = skup izomorfizama,
N = skup endomorfizama, A = skup automorfizama.
Primetiti da: M ∩ P = S, S ∩ N = A, dok klase
M ∩ N \ A i P ∩ N \ A mogu biti neprazne jedino u slučaju beskonačnih grupa.

Povezano

• Homeomorfizam

Literatura

• Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0-07-002655-6.